Question

O número real que satisfaz a equação log₂(12 - 2ˣ ) = 2x é;

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se o valor do número real que satisfaz a equação abaixo:

log₂ (12 - 2ˣ) = 2x

Antes veja que a condição de existência é que o logaritmando seja positivo, ou seja, deveremos impor que:

12 - 2ˣ > 0
- 2ˣ > - 12 ---- vamos multiplicar ambos os membros por "-1", com o que ficaremos da seguinte forma:

2ˣ < 12 ----- (note: quando multiplicamos uma desigualdade por "-1", o seu sinal muda. Se antes tínhamos o sinal de "maior que" ele mudou para "menor que".
Bem, continuando, teremos que:

2ˣ < 12 ----- veja que 12 = 2² * 3. Assim, ficaremos:
2ˣ < 2² * 3 ---- se dividirmos ambos os membros por 2². Vamos ficar assim:
2ˣ/2² < (2² * 3)/2²

Veja: vamos ficar com uma divisão de potências da mesma base em ambos os membros. Regra: conserva-se a base comum e subtraem-se os expoentes. Então, ficaremos assim:

2ˣ⁻² < 2²⁻² * 3
2ˣ⁻² < 2⁰ * 3 ------ como 2⁰ = 1, ficaremos:
2ˣ⁻² < 1 * 3 ---- ou apenas:
2ˣ⁻² < 3 ----- vamos aplicar logaritmo (base 10) a ambos os membros, ficando:

log (2ˣ⁻²) < log (3) ---- passando o expoente multiplicando, teremos:
(x-2)*log (2) < log (3)

Agora veja que:
log (2), na base 10 = 0,30103 (aproximadamente)
e
log (3), na base 10 = 0,47712 (aproximadamente)

Assim, fazendo as devidas substituições, teremos;

(x-2)*0,30103 < 0,47712 ---- isolando "x-2", teremos:
x-2 < 0,47712/0,30103 --- veja: esta divisão dá 1,584958 (bem aproximado). Logo:
 
x-2 < 1,584958
x < 1,584958 + 2
x < 3,584958  ----- Esta é a única condição de existência.

Agora vamos trabalhar com a expressão dada, que é esta:

log₂ (12 - 2ˣ) = 2x ----- veja: conforme a definição de logaritmo, o que temos aqui é a mesma coisa que:

2²ˣ = 12 - 2ˣ ---- vamos passar todo o 2º membro para o 1º, ficando:
2²ˣ - 12 + 2ˣ = 0 ---- ordenando, ficaremos assim:
2²ˣ + 2ˣ - 12 = 0 ---- vamos fazer 2ˣ = k. Com isso, iremos ficar assim:

k² + k - 12 = 0 ----- aplicando Bháskara, você encontrará as seguintes raízes:

k' = -4
k'' = 3

Mas lembre-se que fizemos 2ˣ = k. Então:

i) Para k = -4, teremos:

2ˣ = - 4 <--- Impossível. Não há nenhuma base positiva que, elevada a qualquer que venha a ser o expoente, dê um resultado negativo. Por isso, descartaremos a raiz igual para k = -4.

ii) Para k = 3, teremos:

2ˣ = 3 ----- se aplicarmos logaritmo (na base 10), iremos ficar com:

log (2ˣ) = log (3) ---- passando o expoente multiplicando, teremos:
x*log (2) = log (3)

Como já vimos que log (2) = 0,30103 e log (3) = 0,47712, teremos:

x*0,30103 = 0,47712
x = 0,47712/0,30103
x = 1,584958 <---- Esta é a resposta. E veja que atende à condição de existência que encontramos anteriormente.  Então este é o valor real de "x", que satisfaz à expressão dada.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

Ok?
Adjemir.

Answer 2

Resposta:

As alternativas de respostas são:

a) log₂ 5

b) log₂

c) 2

d) log₂

e) log₂ 3

Resposta: Letra E

Explicação passo-a-passo:

Pode-se resolver x real de variadas formas; mas como tem alternativas de respostas em logaritmos tem que se atentar para isso.

$(2)^2^x = (12 - 2^x)\\ \\ajeitando\\\\(2)^x^2 = (12 - 2^x)\\\\\\logo,\\\\2^x = y\\\\y^2 + y - 12 = 0\\\\resolvendo: y\\\\Se, a=1\\\\Soma=-1\\Produto=-12\\Solution={-4; 3}\\\\2^x = -4; impossible.\\\\2^x = 3\\\\\\Logo,$

㏒₂3 = x

RESPOSTA: Letra E