Question

1) Determine a dimensão dos seguintes subconjuntos e escreva-os com o menor número de vetores possível. Verifique se eles geram o R2 e se formam uma base de R2.
a) W = [(1,2), (2,4), (3,6)]
b) W = [(1,3), (3,5), (-2,-6)]
c) W = [(2,5), (4,8)]
d) W= [(1,-2), (2, -3), (5, -9)]
e) W = [(1 -5), (-2,10)]

2) Determine a dimensão dos seguintes subconjuntos e escreva-os com o menor número de vetores possível. Verifique se eles geram o R3 e se formam uma base de R3.
a) W = [(1,1,2), (2,0,1)]
b) W = [(1,1,-3), (-2,-2,6)]
c) W = [(1,1,-3), (2,3,-2), (8,11,-12)]
d) W= [(1,1,-2), (2, -3,0), (0,2,1)]
e) W = [(2,-1,4), (1,0,3), (-1,2,1), (4,-2,8)]
f) W = [(3,-1,1), (2,1,2), (2,-4,-2), (1,0,3)]
g) W = [(2,1,0), (3,0,1), (-3,-3,1), (0,-6,4), (2,-5,4)]

Sei que são grandes, mas quem puder me ajudar vou ficar muito agradecida.

Answer 1

Para Gerar R2 tenho que ter 2 vetores LI
a) V1 = (1,2), V2 = 2(1,2), V3 = 3(1,2), apenas um vetor é LI, entao não gera R2, é uma base para R

b)v1= (1,3); v2=(3,5), v3=-2(1,3), Note que temos v3 LD, mas temos 2 vetores LI, logo gera R2, S = {v1,v2} é uma base para R2,

c) 2 vetores LI, W é uma base para R2
d) http://sketchtoy.com/67134979 Temos 2 Vetores LI e o v3 = (5,-9) é LD = 3v1 + v2, conjunto gera R2

e) note que v2 = -2v1, logo só tem 1 vetor LI, S = v1  é uma base para R e W não gera R2.

2) Para gerar R3, temos que ter 3 vetores LI.
a) só temos 2 vetores e eles sao LI, W é uma base para R2
b) apenas 2 vetores a ainda v2 = -2v1, W gera apenas R1,
c) http://sketchtoy.com/67135020, escalonando os vetores encontrei 3 pivos, logo 3 vetores são LI e geram R3, W é base para R3
d) 3 vetores LI, http://sketchtoy.com/67135030, W é base para R3

e, f, g com certeza não são bases para R3, pois todos os conjuntos ja tem mais que 3 vetores. mas podem gerar R3, o processo é sempre o mesmo, coloca os vetores lado a lado e escalona, acho que vc ja consegue terminar daqui, né?