Question

estude o comportamento do grafico das seguintes funções:
f(x) = (x+1)*(x-4)

alguém poderiam me dizer como começo?? um passo a passo de todo o processo

Answer 1

Primeiramente você deve simplificar a função tirando os parênteses, para isso você deve utilizar a propriedade distributiva da multiplicação.

f(x) = (x+1)*(x-4)
f(x) = x*x + x(-4) + 1*x +1(-4)
f(x) = x² -4x +x -4
f(x) = x² -3x -4

Agora que a função está simplificada e os termos semelhantes estão agrupados, você deve identificar os coeficientes a,b e c.
a = 1
b = -3
c = -4

Como a é 1, que é um valor maior do que zero, então o gráfico dessa função será uma parábola com concavidade virada para cima (U)

O termo c, também é chamado de intercepto-y, ou seja, ele indica o ponto em que o gráfico cruza o eixo Y. Portanto, o gráfico passa no ponto -4 no eixo Y.

Agora, para descobrir os pontos em que o gráfico cruza o eixo x, você precisa igualar f(x) = 0.
Então vamos ficar com a equação: 0 = x² -3x -4

x² -3x -4 = 0
Primeiramente vamos encontrar o valor de Delta.
Delta = b² -4ac
Delta = (-3)² -4(1)(-4)
Delta = 9 +16
Delta = 25
Como Delta é 25, que é um valor maior do que zero, então a equação terá duas raízes reais e distintas.

Para encontrá-las basta continuar aplicando na fórmula completa:
x = [-b +- Raiz(Delta) ]/2a
x = [-(-3) +- Raiz(25)]/2*1
x = [+3 +- 5]/2
x' = [+3+5]/2 = 8/2 = 4
x'' = [+3-5]/2 = -2/2 = -1
Então as raízes da equação (ou, onde o gráfico corta o eixo x) serão os pontos -1 e 4.

Agora nós já sabemos onde corta o eixo X e Y, sabemos também que o gráfico tem concavidade para cima (como a letra U), só nos resta encontrar o valor do vértice para esboçar o gráfico o mais preciso possível

Para encontar o vértice de una função do segundo grau, basta utilizar 2 formulas, uma para encontar a coordenada x e a outra para y.

Xv = -b/2a
Yv = -Delta/4a

Então ficamos com:

Xv = -b/2a
Xv = -(-3)/2*1
Xv = +3/2 = 1,5

Yv = -Delta/4a
Yv = -25/4 = -6,25

Vértice = (x. y)
V = (1.5 , -6,25)

Agora você tem todos os dados para poder esboçar o seu gráfico no papel!