Question

Em um retângulo de área igual a 64 m², determine o menor perímetro possível.

Answer 1

Oi Gabi :)

Vamos precisar de duas fórmulas:

Área do retângulo = Largura * Comprimento 

x*y=64

Perímetro do Retângulo = 2.Largura+2.Comprimento

P=2x+2y

Diante dessas duas fórmulas podemos inserir uma dentro da outra:

Isolando (tanto faz x ou y) x da área temos:

$x.y=64 \\ \\ x= \frac{64}{y}$

Substituindo esse valor de x no Perímetro temos:

$P=2x+2y \\ \\ P=2( \frac{64}{y})+2y \\ \\ P= \frac{128}{y} +2y$

Derivando P em relação a y :

$P= \frac{128}{y} +2y \\ \\P=128.y^{-1} +2y\\ \\ P'= 128}.(-1).y^{-1-1} +2 \\ \\ P'=-128y^{-2}+2 \\ \\ \boxed{P'= -\frac{128}{y^2}+2 }$

Para encontrar o ponto crítico ( valor que maximiza ou minimiza ) vamos igualar a zero a derivada e isolar a variável:

$-\frac{128}{y^2}+2=0 \\ \\ -\frac{128}{y^2}=-2 \\ \\ -128=-2y^2 \\ \\ 2y^2=128 \\ \\ y^2= \frac{128}{2} \\ \\ y^2= 64 \\ \\ y=+- \sqrt{64} \\ \\ \boxed{y=+-8}$

Como estamos falando de medidas de comprimento só iremos utilizar valores positivos , portanto y=8

Agora basta substituir y=8 na fórmula inicial da área:

x.y=64
x.8=64
x=64/8
x=8

Já sabemos os valores dos lados do retângulo, basta substituir na fórmula do perímetro:

P= 2x +2y
P=2.8 + 2.8
P=16 + 16
P=32 m      Menor perímetro possível


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Espero que goste. Comenta depois :)