Question

A soma de três números em PG, crescente, sendo 26 a sua soma e 216 o seu produto.

Answer 1

Três números em progressão geométrica:

$( \frac{x}{q},x,qx)$
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A soma e o produto podem ser expressos em um sistema:

$\begin{cases} \frac{x}{q}+x+qx=26~(I)\\\\ \frac{x}{\not{q}}*x*\not{q}x=216~\to~ x^{3}=216~\to~x= \sqrt[3]{216}~\to~x=6~(II) \end{cases}$

Se x vale 6 na equação I (produto dos termos), podemos substituí-lo na equação II (da soma):

$\frac{6}{q}+6+6q=26\\\\ 6+q(6+6q)=26*q\\ 6+6q+6q ^{2}=26q\\ 6q ^{2}+6q+6-26q=0\\ 6 q^{2}-20q+6=0~~~~(divide~por~2)\\\\ 3 q^{2}-10q+3=0$

Resolvendo esta equação do 2° grau, obtivemos as raízes

$q'=1/3~~e~~q''=3$

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Podemos substituir os valores de x e de q e obtermos a P.G.,

para q=1/3, temos:

$( 18,6,2)~\to~P.G.~decrescente$


para q=3, temos:

$(2,6,18)~\to~P.G.~crescente$


Espero ter ajudado e tenha ótimos estudos xD