Question

usando o TFC, mostre que a integral de f(x)=3x²+2x+1 em [0, 2] é igual a 14, ou seja $\int\limits^2_0 ({ 3x^{2}+2x+1 } )\, dx =14$
obs. use a 1ª parte do TFC para mostrar que a $\int\limits^b_a { f (x) dx= F(x)$ pois F´(x)=f(x) e a 2ª parte do TFC ou seja \int\limits^b_a { f (x) dx = F (x) \\ /^a_b =F(b)-F(a) para mostrar o valor numérico da integral definida.

Answer 1

Calcular a integral definida:

$\displaystyle\int_0^2 (3x^2+2x+1)\,dx$

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Precisamos descobrir uma primitiva para a função no integrando:

$f(x)=3x^2+2x+1$

no intervalo de integração.


Cálculo de primitiva (integral indefinida)
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$\bullet\;\;$ Regra para primitiva de potências:

$\displaystyle\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\,,~~~~\text{para }n\ne -1$

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$\displaystyle\int (3x^2+2x+1)\,dx\\\\\\ =3\,\dfrac{x^{2+1}}{2+1}+2\,\dfrac{x^{1+1}}{1+1}+x+C\\\\\\ =3\,\dfrac{x^{3}}{3}+2\,\dfrac{x^{2}}{2}+x+C\\\\\\ \therefore~~\boxed{\begin{array}{c}\displaystyle\int (3x^2+2x+1)\,dx=x^3+x^2+x+C \end{array}}$


sendo $C$ uma constante de integração.

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Podemos escolher qualquer valor para a constante $C,$ e ainda assim a função encontrada é uma primitiva para $f.$

No caso particular, para $C=0,$ uma primitiva para $f$ é

$\boxed{\begin{array}{c}F(x)=x^3+x^2+x \end{array}}$

( se você derivar $F$ em relação a $x\,,$ obtemos $f.$ )

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Aplicando o T.F.C para calcular a integral definida, temos

$\displaystyle\int_0^2 f(x)\,dx=F(x)\big|_0^2=F(2)-F(0)\\\\\\ \int_0^2 (3x^2+2x+1)\,dx=(x^3+x^2+x)\big|_0^2\\\\\\ =(2^3+2^2+2)-(0^3+0^2+0)\\\\ =(8+4+2)-0\\\\ =14$


Bons estudos! :-)