Question

um cone reto tem volume V e altura h. Interceptando
este cone por um plano paralelo à base a uma distância de
h/4 da base, obtém-se um novo cone cujo volume é igual a
A) 37/64V B) 1/4V C)1/16 V D)27/64 V E)26/64 V

estacionamento possui 15 vagas, numeradas de 01 a 15, como mostra o desenho a seguir. Certo dia sabe-se que apenas três vagas estão ocupadas e, quando chega um novo carro para estacionar o sistema escolhe, ao acaso, uma das vagas vazias. A probabilidade de que o carro novo não pare ao lado de nenhum dos carros já estacionados é, no mínimo, igual a (A) 1/3. (B) 2/5. (C) 1/2. (D) 3/5. (E) 2/3.

Answer 1

- Questão 1:

O volume de um cone é dado por:
V = π.r².h/3

Interceptando este cone com um plano paralelo à base a uma altura h/4, formamos acima deste plano um cone menor, cuja altura h1 é a diferença entre a altura do cone maior e a altura do plano em relação à base:
h1 = h - h/4 = 3.h/4

Como vimos na fórmula do volume, precisamos saber o valor do novo raio r1. Por semelhança de triângulos, a altura e o raio dos cones maior e menor apresentam a mesma razão:
h/r = h1/r1
h/r = (3.h)/(4.r1)
r1 = 3.r/4 (como era esperado)

Logo, o volume do novo cone será:
V1 = π.r1².h1/3
V1 = π.(3.r/4)².(3.h/4)/3
V1 = π.(9.r²/16).(3.h/4)/3
V1 = (π.r².h/3).(27/64)
V1 = V.(27/64)
V1 = 27.V/64

Alternativa D.

- Questão 2:

A probabilidade do carro recém-chegado ao estacionamento de não estacionar ao lado dos outros três estacionados dependerá da disposição destes carros.
Se todos os carros estivessem estacionados nas vagas consecutivas 1-2-3 ou 13-14-15, sobrariam 11 vagas sem carros vizinhos dentre as 12 disponíveis e, portanto, a probabilidade seria 11/12.
Entretanto, queremos saber a menor probabilidade de um carro estacionar em uma vaga sem vizinhos. O número de opções será menor quando os três carros não estiverem lado a lado nem nas vagas das pontas. Nesta situação podemos considerar que cada carro estacionado "estaria ocupando" 3 vagas (a sua e as vagas vizinhas), restando apenas 15 - 3.3 = 6 vagas possíveis dentre as 12.
Logo, a menor probabilidade será 6/12 = 1/2.

Alternativa C.