Question

Numa progressão geométrica crescente, o 2° termo é igual a  √2 e o terceiro termo é o dobro do primeiro.

a) Escreva uma expressão designatória do termo geral da progressão.
b) Calcule a soma dos 12 primeiros termos da progressão. 

Answer 1

temos:$\begin{cases}a _{2}= \sqrt{2}\\ a _{3}=2*a _{1}~\to~\not{a _{1}} *q ^{2}=2*\not{a _{1}}~\to~q ^{2}=2~\to~q= \sqrt{2}\\ a _{1}=a _{2}/q~\to~a _{1}= \sqrt{2} / \sqrt{2} ~\to~a _{1}=1\\ S _{12}=? \end{cases}$

Usando a fórmula do termo geral da P.G., podemos então escrever a expressão designatória da seguinte maneira:

$a _{n}=a_{1}*q ^{n-1}\\\\ \boxed{a _{n}=1* \sqrt{2} ^{n-1}}~\to~expressao~do~termo~geral$

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Usando a fórmula da soma dos n primeiros termos da P.G., temos:

$\boxed{S _{n}= \frac{a _{1}(q ^{n}-1) }{q-1}}\\\\\\ S _{12}= \frac{1( \sqrt{2} ^{12}-1) }{ \sqrt{2}-1 }\\\\ S _{12}= \frac{2 ^{6}-1 }{ \sqrt{2}-1 }\\\\ S _{12}= \frac{63}{ \sqrt{2}-1 } \\\\ S _{12}= \frac{63 \sqrt{2}-1 }{3}\\\\ \boxed{S _{12}=21 \sqrt{2}-1}~\to~soma~dos~12~primeiros~termos$


Espero ter ajudado e tenha ótimos estudos =)