Question

Num acampamento militar, serão instaladas três barracas: I, II, III. Nelas serão alojados 10 soldados, dentre eles o soldado A e o soldado B, de tal maneira que fiquem 4 soldados na barraca I, 3 na barraca II e 3 na barraca III.
Se o soldado A deve ficar na barraca I e o soldado B NÃO deve ficar na barraca III, então o número de maneiras distintas de distribuí-los é igual a:
A) 560 B) 1.680 C) 1.120 D) 2.240

Answer 1

O problema tem muitas restrições. Vamos fazer da seguinte maneira:
Resposta = x - y

x = todos os casos em que o soldado A fica na barraca I
y = casos em que o soldado B fica na barra III, e o soldado A na barraca I.

Calculando separadamente o valor de x e y:
I. Fixando o soldado A na barraca I, temos 9*8*7 possibilidades para a barraca I, e 6*5*4 para a barraca II, e 3*2*1 para a barraca III. Precisamos dividir por 4!, 3! e 3! (a ordem dos soldados em cada barraca não importa).
$x = \frac{9!}{3!^{3}} \Rightarrow x = 1680$

II. Fixando o soldado B na barraca III e o soldado A na barraca I, temos 8*7*6 possibilidades para a barraca I, 5*4*3 para a barraca II e 2*1 para a barraca III.
$y = \frac{8!}{3!^{2} \cdot 2} = 560$

Resposta: x-y = 1120. Letra C.

Answer 2

=> Temos 10 soldados para alojar em 3 barracas

..Restrições

--> 4 soldados na barraca (1) ..3 soldados na barraca (2) ...3 soldados na barraca (3)

--> O soldado (A) DEVE ficar na barraca (1) ..e o soldado (B) NÃO DEVE ficar na barraca (3) 

...isto implica que:
 
=> Na barraca (1) podemos ter:

--> Soldado (A) + soldado (B) + 2 soldados 

--> Soldado (A) + 3 soldados

 
=> Na barraca (2) podemos ter:

--> 3 soldados

--> Soldado (B) + 2 soldados


=> Na barraca (3) temos obviamente:

--> 3 soldados em qualquer situação em qualquer situação (nenhum deles o "A" ou o "B")


Assim ficamos reduzidos ás seguintes combinações:


COMBINAÇÃO (1):

>>>BARRACA (1)

--> Soldado (A) + soldado (B) + 2 soldados

>>>BARRACA (2)

--> 3 soldados

>>>BARRACA (3)

--> 3 soldados

Donde resulta o número (N) de possibilidades dado por:

N = [C(8,2)] . [C(6,3)] . [C(3,3)]

N = (8!/2!(8-2)!) . (6!/3!(6-3)!) . (3!73!(3-3)!)

N = (8!/2!6!) . (6!/3!3!) . (3!/3!)

N = (8.7/2) . (6.5.4/3!) . (1)

N = (28) . (20) . (1)

N = 560 total de possibilidades para a primeira combinação 


COMBINAÇÃO (2):

>>>BARRACA (1)

--> Soldado (A) + 3 soldados

>>>BARRACA (2)

--> Soldado (B) + 2 soldados

>>>BARRACA (3)

--> 3 soldados

Donde resulta o número (N) de possibilidades dado por:

N = [C(8,3)] . [C(5,2)] . [C(3,3)]

N = (8!/3!(8-3)!) . (5!/2!(5-2))!) . (3!/3!(3-3)!)

N = (8.7.6.5!/3!5!) . (5.4.3!/2!3!) . (3!/3!)

N = (8.7.6/3!) . (5.4/2!) . (1)

N = (56) . (10) . (1)

N = 560 <--- número de possibilidades da segunda combinação 


Assim o total de possibilidades será:

Total de possibilidades = 560 + 560 = 1120 


Resposta correta: Opção - C) 1120 maneiras


Espero ter ajudado