Question

se o par (xy) de numeros reais é solução de {x²-y²=5 {xy=6 podemos concluir que (x-y)² é:

Answer 1

Vamos lá.

Veja, AnaBeatriz, que a resolução está até certo ponto fácil.
 
Pede-se o valor de (x-y)², sabendo-se que o par {x; y} de números reais é a solução do seguinte sistema:

{x² - y² = 5    . (I)
{xy = 6 -----> Como o produto entre "x" e "y" é igual a "6", então já poderemos AFIRMAR que "x" e "y" são diferentes de zero, pois se um deles fosse zero o produto seria igual a zero e nunca igual a "6". Por isso, poderemos isolar "x", ficando assim:

x = 6/y.        . (II)

Agora vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Vamos vamos para a expressão (I) e, nela, substituiremos "x" por "6/y", conforme vimos na expressão (II).
A expressão (I) é esta:

x² - y² = 5 ---- substituindo-se "x" por "6/y", teremos:
(6/y)² - y² = 5 ---- desenvolvendo, temos:
36/y² - y² = 5 ------ mmc = y². Assim, utilizando-o no 1º membro, teremos:
(1*36 - y²*y²)/y² = 5
(36 - y⁴)/y² = 5 ----- multiplicando em cruz, teremos:
(36 - y⁴) = 5*y² --- ou apenas:
36 - y⁴ = 5y² ---- vamos passar todo o 1º membro para o 2º, com o que ficaremos assim:

0 = 5y² - 36 + y⁴ ---- ordenando e invertendo-se, teremos:
y⁴ + 5y² - 36 = 0 ----- vamos fazer y² = k. Com isso, ficaremos assim:
k² + 5k - 36 = 0 ---- aplicando Bháskara, encontraremos as seguintes raízes:

k' = - 9
k'' = 4

Mas lembre-se que fizemos y² = k. Então: 

 i.a) Para k = - 9, teremos:

y² = - 9 <--- Impossível. Não existe nenhuma base que, elevada ao quadrado, dê um resultado negativo. Então, simplesmente descartaremos a raiz igual a "-9".

i.b) Para k = 4, teremos:

y² = 4 ------ note que 4 = 2². Assim:
y² = 2² ---- como os expoentes são iguais, então poderemos igualar as bases. Logo:

y = 2 <--- Este será o valor de "y". Note que "y" também poderia ser igual a "-2", pois se tomássemos, logo no início, quando chegamos que: y² = 4 ----> y = +-√(4) ----> y = +- 2 <--- Veja que "y" também poderia ser igual a "-2". Mas considerando "y" = 2 não vamos ter qualquer "prejuízo".

ii) Agora, que já sabemos que y = 2 (que também poderia ser igual a "-2", pois tudo, no fim, iria dar na mesma coisa), vamos encontrar o valor de "x". E, para isso, iremos em quaisquer uma das expressões e, no lugar de "y", colocaremos "2". Vamos na expressão (II), que é esta:

x = 6/y ----- substituindo-se "y" por "2", ficaremos com:
x = 6/2
x = 3 <--- Este é o valor de "x".

iii) Finalmente, vamos para o que está sendo pedido, que é o valor de (x-y)². Como já sabemos que x = 3 e que y = 2, então teremos:

(x-y)² = (3-2)² = (1)² = 1 <--- Esta é a resposta.
É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.