Question

Num paralelogramo ABCD traçamos sua diagonal AC. Pelos vértices B e D traçamos dois segmentos BP e DQ perpendiculares à diagonal AC, com p e Q pertencentes a AC. Prove que BP é congruente a DQ.

Answer 1

Seja o paralelogramo ABCD. Traçando a diagonal AC, dividindo o quadrilátero em dois triângulos congruentes , temos então que AD ≡ BC, pois estão em  lados opostos (1). ∠DAC ≡ ∠ACB, pelo caso alternos internos (2).

Traçando a diagonal DQ, podemos fazê-la como união de dois segmentos BP e DQ. De modo análogo, ∠ADB ≡ DBC (alternos). Por construção, ∠AQD ≡ ∠CPB (3).

De (1), (2) e (3), temos o caso LLA₀ (Lado, ângulo, ângulo oposto), o que implica que ΔAPD ≡ ΔCPB ⇒ BP ≡ DQ.