Question

Se os números 3, a, b , nessa ordem, estão em P.A., e os números 3, a - 6, b, nessa ordem, estão em P.G., então o valor de a é?
a) 12
b) 15
c) 18
d) 21
e) 24

Com cálculos, por favor.

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Luisfelipe, que é simples.
Pede-se o valor de "a", levando-se em conta as seguintes sequências:

(3; a; b) é uma PA
e
(3; a-6; b) é uma PG.

Agora vamos por parte, tentando fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Se a sequência: (3; a; b) é uma PA, então a razão (r) é constante e é encontrada subtraindo-se cada termo antecedente do seu respectivo consequente. Então, para que a sequência acima seja uma PA, deveremos ter isto:

b-a = a-3 ----- passando "-a" para o 2º membro, teremos:
b = a - 3 + a --- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
b = 2a - 3    . (I)

ii) Se a sequência (3; a-6; b) é uma PG, então a razão (q) é constante e é encontrada pela divisão de cada termo consequente pelo seu respectivo antecedente. Então, para ser uma PG, deveremos ter isto:

b/(a-6) = (a-6)/3 ----- multiplicando-se em cruz, teremos:
3*b = (a-6)*(a-6)
3b = (a-6)²    . (II)

iii) Mas como já vimos que b = 2a-3, conforme a expressão (I), então vamos substituir "b" por esse valor na expressão (II), que é esta:

3b = (a-6)² ---- substituindo-se "b" por "2a-3", teremos:
3*(2a-3) = (a-6)² ----- desenvolvendo ambos os membros, ficaremos com:
6a - 9 = a² - 12a + 36 ---- passando todo o 1º membro para o 2º, temos:
0 = a² - 12a + 36 - 6a + 9 --- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
0 = a² - 18a + 45 ----,ou, o que é a mesma coisa:
a² - 18a + 45 = 0 ----  aplicando-se Bháskara, encontraremos as seguintes raízes:

a' = 3
a'' = 15

Como "a" poderá ser uma das raízes encontradas aí em cima, e considerando que nas opções dadas há uma delas que informa que a = 15, então teremos que:

a = 15 <--- Esta é a resposta. Opção "b".

Bem, a resposta já está dada. Agora, só por curiosidade, vamos ver quais seriam a PA e a PG dadas, após substituirmos o "a" por "15":

PA (3; a; b) ---> (3; 15; 27) <--- Seria uma PA de razão "12" (pois: 27-15 = 15-3 = 12).

PG (3; a-6; b) ---> (3; 15-6; b) ---> (3; 9; 27) <--- Seria uma PG de razão  "3", pois: ( 27/9 = 9/3 = 3).

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.