Question

Ao aproximar-se de uma ilha, o capitão de um navio avistou uma montanha e decidiu medir a sua altura. Ele mediu um ângulo de 30º na direção de seu cume,
como indicado na figura. Depois de navegar mais 2 km em direção à montanha, repetiu o procedimento, medindo um novo ângulo de 45º. Qual é a altura dessa montanha?

Answer 1

tangente=cateto oposto/cateto adjacente
tg 45°=1
tg 30°=√3/3

Considere os seguintes pontos:
A=ponto em que o ângulo é 30°
B=ponto em que o ângulo é 45°
C=base da montanha
D=cume (topo) da montanha

AB=2
BC=y
CD=x
AC=2+y

tg 45°=CD/BC=x/y
1=x/y
y=x  (I)

tg 30°=CD/AC=x/(2+y)
√3/3=x/(2+y)
1,73/3=x/(2+y)
1,73.(2+y)=3x
3,46+1,73y=3x
1,73y=3x-3,46
y=(3x-3,46)/1,73 (II)

(II) = (I)
y=y

(3x-3,46)/1,73=x
3x-3,46=1,73x
3x-1,73x=3,46
1,27x=3,46
x=3,46/1,27
x=2,72441
x=~2,7 km

Answer 2

A altura dessa montanha é de 2,73 quilômetros.

Na primeira medição, temos um triângulo retângulo cujo cateto oposto ao ângulo de 30° é a altura h da montanha e cateto adjacente é a distância do navio a ilha. Podemos relacionar estes valores com a tangente do ângulo:

tan(30°) = h/x

Na segunda medição, temos outro triângulo retângulo mas dessa vez o ângulo é de 45° e a distância é x - 2. Logo:

tan(45°) = h/(x-2)

Igualando as equações em h, temos:

x.tan(30°) = (x-2).tan(45°)

x√3/3 = x - 2

x - x√3/3 = 2

x(1 - √3/3) = 2

x = 4,73 km

Substituindo x:

h = 4,73.tan(30°)

h = 2,73 km

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