Question

Um trapezio isósceles tal que a base menor mede 6cm , um dos ângulos internos mede 120°, e a medida da altura é de 36cm. Nessas condições determine o perímetro e a área do trapézio

Answer 1

Por gentileza, acompanhe o raciocínio na figura do anexo:

Para calcularmos o perímetro do trapézio ABCD, precisamos obter a medida dos seus quatro lados, dos quais:
AB = 6 cm, é a sua base menor
BC = AD, pois ele é isósceles
CD é a sua base maior

Então, como conhecemos o valor da altura (AE = BF) e conhecemos, indiretamente, o valor dos ângulos D e C = 60º, vamos obter o valor dos lados BC e DA.
Para isto, vamos analisar o que ocorre no triângulo AED (é o mesmo que ocorre no triângulo BCF):

- Este triângulo é retângulo
- AE é a altura do trapézio e cateto oposto ao ângulo de 60º
- AD é a sua hipotenusa

Aplicando então a função trigonométrica seno, temos:

seno = cateto oposto ÷ hipotenusa
sen 60º = AE ÷ AD
0,866 = 36 cm ÷ AD
AD =36 ÷ 0,866
AD = 41,57 cm
BC = 41,57 cm

Precisamos agora obter o valor da base maior (CD). Como

CD = DE + EF + FC [1]
e
EF = AB = 6 cm
Vamos obter o valor de
DE = FC

No mesmo triângulo retângulo AED, ED é cateto adjacente ao ângulo de 60º. Então, como conhecemos o cateto oposto ao ângulo de 60º (AE), aplicaremos a função trigonométrica tangente:

tangente = cateto oposto ÷ cateto adjacente
tg 60º = AE ÷ DE
1,732 = 36 ÷ DE
DE = 36 ÷ 1,732
DE = 20,785 cm e
CF = 20,785

Substituindo em [1] os valores agora conhecidos:

CD = 20,785 + 6 + 20,785
CD = 47,57 cm

Então, o perímetro (p) será igual a:

p = 6 + 41,57 + 47,57 + 41,57

p = 136,71 cm, perímetro do trapézio

A área do trapézio (A) é igual ao produto de sua base média (bm) pela altura (h):

A = bm × h

A base média é igual à media aritmética das duas bases:

bm = (6 + 47,57) ÷ 2

bm = 26,785

A altura (h) é fornecida pela questão: 

h = 36 cm

Então, temos:

A = 26,785 cm × 36 cm

A = 964,26 cm², área do trapézio