Question

Qual alternativa corresponde ao valor da integral indefinida abaixo;

Answer 1

Bom dia João!
 
Solução!

Essa é uma integral que deve ser resolvida por partes!


$\displaystyle \int udv=uv-\displaystyleint vdu\\\\\\\\\ \displaystyle \int t.e^{3t} dt\\\\\\ u=t~~~~dv=e^{3t} \\\\\\ dv=dt~~~~~v= \frac{1}{3}e^{3t}$


$\displaystyle \int t.e^{3t}=t. \frac{1}{3}e^{3t}- \displaystyle \int \frac{1}{3}e ^{3t}dt\\\\\\\ \displaystyle \int t.e^{3t}=t. \frac{1}{3}e^{3t}- \frac{1}{3} \displaystyle \int e ^{3t}dt\\\\\\\ \displaystyle \int t.e^{3t}=t. \frac{1}{3}e^{3t}- \frac{1}{3}. \frac{1}{3}e ^{3t}\\\\\\\ \displaystyle \int t.e^{3t}=t. \frac{1}{3}e^{3t}- \frac{1}{9}.e ^{3t}\\\\\\\ Colocando~~em~~evidencia~~e^{3t} !\\\\\\\ e^{3t} ( \frac{t}{3} - \frac{1}{9} )+c$

$\boxed{Resposta:e^{3t} ( \frac{t}{3} - \frac{1}{9} )+c ~~\boxed{Alternativa~~D}}$


Bom dia!

Bons estudos!

Answer 2

Olá,
como temo um produto de duas funções, temos que fazer esta integral por partes:

$\int {u} \, dv = uv-\int {v} \, du \\ \int {te^{3t}} \, dt \\ u=t\\ du=dt\\ dv=e^{3t}\\ v= \frac{e^{3t}}{3}\\ \int {u} \, dv = uv-\int {v} \, du \\ \int {te^{3t}} \, dt = t\frac{e^{3t}}{3}-\int {\frac{e^{3t}}{3}} \, dt\\ \int {te^{3t}} \, dt = t\frac{e^{3t}}{3}- \frac{e^{3t}}{9}+C \\ \int {te^{3t}} \, dt = e^{3t}(\frac{t}{3}- \frac{1}{9})+C$

Portanto, a alternativa certa é a quarta.

Espero ter ajudado.