Question

Determine o valor de t para que a equação (t + 2)x2 +10x + 20 = 0 possua duas raízes distintas.
Estou refazendo a prova e preciso somente dessa questão, alguém pra me ajudar!

Answer 1

Vamos lá.

Bem, como informamos nos comentários da sua outra questão, aqui pede-se para determinar o valor de "t" para que a função do 2º grau abaixo tenha duas raízes reais e distintas:

(t+2)x² + 10x + 20 = 0

Note que uma equação do 2º grau só terá raízes reais e distintas se e somente se o seu delta (b² - 4ac) for MAIOR do que zero.
Observe que o delta (b² - 4ac) da função acima será : 10² - 4*(t+2)*20.
Então vamos impor que esse delta seja MAIOR do que zero. Assim:

10² - 4*(t+2)*20 > 0 ------ ou, o que é a mesma coisa:
100 - 4*20*(t+2) > 0
100 - 80*(t+2) > 0
100 - 80*t - 80*2 > 0
100 - 80t - 160 > 0 ----- "arrumando", teremos:
100 - 160 - 80t > 0
- 60 - 80t > 0
- 80t > 60 ----- vamos multiplicar ambos os membros por "-1", ficando:
80t < - 60 ---- note que quando multiplicamos uma desigualdade por "-1" ela muda de sinal (o que era ">" passa para "<" e vice-versa. Foi o que ocorreu com a desigualdade acima: antes ela tinha sinal de ">", mas quando multiplicamos por "-1", o sinal mudou para "<".
Bem, visto isso, vamos continuar o desenvolvimento de onde paramos, que é:
 
80t < - 60 ----- isolando "t", teremos:
t < - 60/80 ---- dividindo numerador e denominador por "20", ficaremos apenas com:

t < 3/4  ------ Esta é a resposta. Ou seja: "t" deverá ser menor do que "3/4" para que a equação do 2º grau da sua questão tenha duas raízes reais e distintas.

Agora note que "t" deverá ser menor do que "3/4", mas sempre deverá obedecer à condição de existência de equações do 2º grau, ou seja, além de "t" dever ser menor do que 3/4, ele também deverá ser diferente de (o coeficiente "a" terá que ser diferente de zero, lembra?):

t + 2 ≠ 0
t ≠ -2

Então, note isto: "t" além de ter que ser menor que "3/4" ele não poderá ser igual a "-2", pois aí não iríamos ter uma equação do 2º grau e, como tal, não teríamos duas raízes reais e distintas.
Assim, para responder com todo acerto, então: para que a equação do 2º grau da sua questão tenha duas raízes reais e distintas, "t" deverá ser:

t < 3/4 e t ≠ -2 ----- Esta é a resposta completa.

Note que "-2" é menor do que "3/4". Por isso é que tivemos o cuidado de informar que "t" não poderá ser menor do que "3/4" sem nenhuma restrição. Ele deverá, sim, ser menor do que "3/4", mas sem assumir o valor de "-2" (nunca).

Se você quiser indicar isso em forma de conjunto-solução, poderia fazer assim:

S = {t ∈ R | t < 3/4 e t ≠ -2}

Ou ainda se quiser, o conjunto-solução também poderia ser expresso da seguinte forma, o que significa o mesmo:

S = (-∞; -2) ∪ (-2; 3/4) .
 

É isso aí.
Deu pra entender bem?

Ok?
Adjemir.