Question

Dê o domínio da função,em cada caso:

 

A)f(x) = log 1/2  log 2(x²-1)

 

B)f(x)= log log (x² + x +2)

 

C) f(x)= √log(x²-x-1)

 

D)f(x)= log log(6x²-13x+7)

 

Se possível,envie o passo a passo.

 

P.S: recompensaria com mais pontos,se eu pudesse.

 

Boa noite!

Answer 1

Olá, AgenteRJ.

A função logarítmica está definida apenas para logaritmandos maiores que zero.

 

Explico:

 

$<var>\text{Se }a^b=c,\text{com }a>0,\text{ ent\~ao necessariamente devemos ter }c>0,$

$\text{ pois n\~ao \'e poss\'ivel }a^b\leq0,a>0,\text{ para nenhum valor de }b.</var>$

 

$\text{Como }a^b=c \Rightarrow b=\log_ac,\text{ ent\~ao}:$

$\log_ac\text{ existe apenas se }c>0.$

 

$<var>\text{Em outras palavras, para }a>0\ \ D(\log_ac)=\{c\in\mathbb{R}|c>0\}, \text{ sendo}\\ D\text{ o dom\'inio}.</var>$

 

Os domínios de cada uma das funções do exercício, portanto, são os subconjuntos dos números reais tais que seus respectivos logaritmandos sejam maiores que zero.

 

_________________________________________________________

 

$<var>A)\ f(x) = \log \frac12 \log 2(x\²-1)\\\\ x^2-1=(x+1)(x-1) </var>$

 

$<var>(x+1)(x-1)>0\\\\ \underline{\text{An\'alise do sinal}}:\\\\ .....(-).......-1...(+)....|.....(+)........\ (x+1) \\ .....(-)...........|....(-)....1....(+)........\ (x-1) \\ .....(+).......-1...(-)....1....(+)........\ (x+1)(x-1)$

 

$\therefore\boxed{D=\{x\in\mathbb{R}|x<-1\text{ ou }x>1\}}</var>$

_________________________________________________________

 

$B)\ f(x)= \log \log (x\² + x +2)$

 

Por causa do outro logaritmo, devemos ter:

 

$<var>\log(x^2+x+2)>0 \Rightarrow x^2+x+2>1 \Rightarrow x^2+x+1>0\\\\</var>$

 

Como $\Delta=1-4=-3<0,$ não há raízes.

Como a parábola tem concavidade voltada para cima, então:

$x^2+x+1>0,\forall x$

$\therefore\boxed{D=\mathbb{R}}$

__________________________________________________________

 

$C)\ f(x)= \sqrt{\log(x\²-x-1)}$

 

Por causa da raiz quadrada, devemos ter:

 

$<var>\log(x\²-x-1)\geq0 \Rightarrow x\²-x-1\geq1 \Rightarrow x^2-x-2\geq0 </var>$

 

Raízes: $<var>x=\frac{1\pm\sqrt9}2=2\text{ ou }-1</var>$

 

Como é uma parábola com concavidade para cima, então entre as raízes temos:

 

$<var>x^2-x-2\leq0 \Rightarrow \boxed{D=\{x\in\mathbb{R}|x\leq-1\text{ ou }x\geq2\}}</var>$

________________________________________________________________

 

$D)\ f(x)= \log \log(6x\²-13x+7)$

 

Por causa do outro logaritmo, devemos ter:

$<var>\log(6x^2-13x+7)>0 \Rightarrow 6x^2-13x+7>1 \Rightarrow 6x^2-13x+6>0</var>$

 

Raízes:

$x=\frac{13\pm\sqrt{169-144}}{12}=\frac32\text{ ou }\frac12$

Como é uma parábola com concavidade para cima, então entre as raízes temos:

 

$<var>6x^2-13x+6\leq0 \Rightarrow \boxed{D=\left\{x\in\mathbb{R}|x<\frac12\text{ ou }x>\frac32\right\}} </var>$