Question

A graviola é uma fruta que possui diversos nutrientes, como as vitaminas C, B1 e B2 e os Sais Minerais: Cálcio, Fósforo, Ferro, Potássio e Sódio. Uma indústria química deseja fabricar um produto a partir da combinação de 4 daqueles nutrientes, entre vitaminas ou sais minerais, encontrados na graviola. A quantidade de produtos que poderá ser fabricada se forem utilizados no máximo 2 tipos de vitaminas, será de:

a) 26 b) 30 c) 32 d) 60 e) 65

Answer 1

$\bullet\;\;$ Conjunto de vitaminas:

$V=\{C,\,B1,\,B2\}$

3 vitaminas.


$\bullet\;\;$ Conjunto de sais minerais:

$W=\{\text{c\'alcio},\,\text{f\'osforo},\,\text{ferro},\,\text{pot\'assio},\,\text{s\'odio}\}$

5 sais minerais.

___________________

Queremos combinar 4 nutrientes entre os descritos pelos conjuntos $V$ e $W,$ sendo no máximo 2 vitaminas (elementos de $V$ )


$\bullet\;\;$ 1º Caso.

2 vitaminas e 2 sais mineirais.

$C_{3,\,2}\cdot C_{5,\,2}\\\\ =\dfrac{3!}{2!\cdot (3-2)!}\cdot \dfrac{5!}{2!\cdot (5-2)!}\\\\\\ =\dfrac{\diagup\!\!\!\!\! 3!}{2!\cdot 1!}\cdot \dfrac{5!}{2!\cdot \diagup\!\!\!\!\! 3!}\\\\\\ =\dfrac{5\cdot 4\cdot 3\cdot \diagup\!\!\!\!\! 2!}{2!\cdot \diagup\!\!\!\!\! 2!}\\\\\\ =30\text{ possibilidades}$


$\bullet\;\;$ 2º Caso.

1 vitamina e 3 sais minerais

$C_{3,\,1}\cdot C_{5,\,3}\\\\ =3\cdot \dfrac{5!}{3!\cdot 2!}\\\\\\ =3\cdot \dfrac{5\cdot 4\cdot \diagup\!\!\!\! 3\cdot \diagdown\!\!\!\!\! 2!}{\diagup\!\!\!\! 3\cdot \diagdown\!\!\!\!\! 2!\cdot 2!}\\\\\\ =30\text{ possibilidades}$


$\bullet\;\;$ 3º Caso.

Nenhuma vitamina e 4 sais minerais

$C_{3,\,0}\cdot C_{5,\,4}\\\\\\ =1\cdot 5\\\\ =5\text{ possibilidades}$

__________________________

Total:

$30+30+5=65\text{ possibilidades}$


Resposta: alternativa $\text{e) }65.$


Bons estudos! :-)