Question

Demonstre a condição de Cauchy:

x e y ∈ V(a) ⇒ | f9x) - f(y) | < r então existe um b tal que lim f(x) = b com x → a

Answer 1

Suponhamos que lim f(x) = b com x→a, então existe uma vizinhança de a dada por V(a), tal que x ∈ V(a) implica | f(x) - b | < r'.

Do mesmo modo, se y ∈ V(a), então | f(y) - b | < r''.

Portanto, 

| f(x) - f(y) | ≤ | f(x) - b| + | b - f(x) | < r' + r'' = r, isto é, | f(x) - f(y) | < r

Agora, seja x(n) uma sequência que tende para a. Dado um i arbitrário, temos que x(n) ∈ V(a), sendo n > i. Então a condição de Cauchy para sequências, | f(x(m)) - f(x(n)) | < r (com m e n maiores que i), implicará na existência de lim f(x(n)), ou seja, na exist~encia de lim f(x) com x→a.