Question

[15 pontos] Calcule o limite?

$\lim \frac{ x^{3}- 3x^{2}+2x}{ x^{2}-x} \\ _{x \to \11}$

Alguém me ajuda, o que eu faço nesse caso?

Answer 1

$\lim_{x \to 1} \frac{x^3-3x^2+2x}{x^2-x}$

é uma indeterminação temos que fatorar as equações..
assim iremos transformar em produto e poderemos 'cortar' os termos semelhantes

escrevendo na forma fatorada 
uma equação do segundo grau tem duas raízes
$(x-r')*(x-r'')$
r' e r'' são as raízes

a equação do terceiro grau tem tres raízes 
$(x-r')*(x-r'')*(x-r''')$
************************************************************************************************
na equação do terceiro grau que temos no numerador
$x^3-3x^2+2x$

ja vimos que 1 é uma raíz da função..porque quando substitui x por 1 o resultado é 0
e podemos ver que 0 tambem é uma raíz 
então escrevendo na forma fatorada 
$(x-0)*(x-1)*(x-r)$

r é a outra raíz 
fazendo essa multiplicação
$(x-0)*(x-1)*(x-r)\\\\(x^2-x)*(x-r)\\\\x^3-x^2r-x^2-xr\\\\x^3+(r-1)x^2-xr$

agora comparando as duas equações
$x^3+(1-r)x^2-xr=(x^3-3x^2+2x)$
........................................................................
$x^3=x^3\\\\(1-r)x^2=-3x^2\\\\rx=2x\\\\\boxed{r=2}$

então reescrevendo o numerador na forma fatorada
$(x-0)*(x-1)*(x-2)$
*********************************************************************************************

no denominador temos
$x^2-x$
é uma equação do segundo grau e temos
as raízes 1 e 0

reescrevendo na forma fatorada 
$(x-1)*(x-0)$

agora reescrevendo a expressão
$\frac{x^3-3x^2+2x}{x^2-x} = \frac{(x-0)*(x-1)*(x-2)}{(x-1)*(x-0)}$

simplficando
$\frac{(x-0)*(x-1)*(x-2)}{(x-1)*(x-0)} =(x-2)$

calculando o limite
$\lim_{x \to 1} (x-2)=(1-2)=-1$

resposta
$\boxed{\lim_{x \to 1} \frac{x^3-3x^2+2x}{x^2-x} } = -1$