Question

1) Dê o valor do determinante.

A b 0 0
A 0 c 0
A 0 0 d
0 b c d

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se o determinante da matriz de 4ª ordem abaixo:

|a...b...0...0|
|a...0...c...0|
|a...0...0...d|
|0...b...c...d|

Veja: vamos marcar uma fila (linha ou coluna) que tenha mais zeros. Note que temos três colunas que têm, cada uma, dois zeros. Então vamos marcar a segunda coluna. E, a partir dela, encontraremos as 4 matrizes de ordem 3. Assim, teremos:

i) segunda coluna com a primeira linha:

b*(-1)¹⁺²*|a...c...0|a...c|
. . . . . . .|a...0...d|a...0| ---- desenvolvendo, teremos:
. . . . . .  |0...c...d|0...c|

Veja que b*(-1)³ = b*(-1) = = - b. Assim: teremos:

-b*[a*0*d+c*d*0+0*a*c - (0*0*0+c*d*a+d*a*c)]
-b*[0 + 0 + 0 - (0 + acd + acd)] = -b*[0 - (2acd)] = -b*(-2acd) = 2abcd.

ii) Segunda coluna com a segunda linha.

0*(-1)²⁺²*|a...0...0|
. . . . . . . |a...0...d|
. . . . . . . |a...c...d|

Veja: como ela está multiplicada por zero, então o valor do determinante desta matriz será também "0".

iii) Segunda coluna com a terceira linha.

0*(-1)³⁺²*|a...0...0|
. . . . . . . |a...c...0|
. . . . . . . |0...c...d|

Veja, a exemplo do item "ii" acima, como o determinante desta matriz vai ser multiplicada por "0", então o seu valor também será "0".

iv) Finalmente, vamos à segunda coluna e quarta linha:

b*(-1)⁴⁺²*|a...0...0|a...0|
. . . . .. . .|a...c...0|a...c|
. . . . . ..  |a...0...d|a...0|

Veja: b(-1)⁶ = (b)*1 =  b.
Assim, desenvolvendo a matriz acima, teremos:

b*[a*c*d + 0*0*a + 0*a*0 - (a*c*0 + 0*0*a + d*a*0)] =
= b*[acd + 0 + 0 - (0 + 0 + 0)] --- ou apenas:
= b*[acd + 0 - 0] = b*(acd) =  abcd .

v) Assim, como você viu, ficamos com a seguinte soma (itens "i" e "iv", pois os itens "ii" e "iii" são zero):

2abcd + abcd =  3abcd <--- Esta será a resposta.

Se não erramos nos cálculos (o que poderá até ser possível, pois foram envolvidos muitos), a resposta será a que demos aí em cima.

Veja se "bate" com o gabarito da questão, certo?

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.