Question

discuta o sistema, ou seja, para quais valores o sistema será: (SPD,SPI,SI)
$\left \{ {{mx+y=2} \atop {x-y=m}} \right$

Answer 1

$\left\{\! \begin{array}{rcl} mx+y&\!\!=\!\!&2\\ x-y&\!\!=\!\!&m\end{array} \right.$


Temos um sistema de 2 equações e 2 variáveis. Reescrevendo o sistema na forma matricial, temos

$\underbrace{\left[\begin{array}{cc} m&1\\ 1&-1 \end{array} \right ]}_{\mathbf{A}} \left[\begin{array}{c} x\\y \end{array} \right ]=\left[\begin{array}{c} 2\\m \end{array} \right ]$


Calculando o determinante da matriz $\mathbf{A}:$

$\det\mathbf{A}=\det\!\left[\begin{array}{cc} m&1\\ 1&-1 \end{array} \right ]\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\det\mathbf{A}=-m-1 \end{array}}$

_______________

$\bullet\;\;$ O sistema será possível e determinado (SPD), se e só se

$\det\mathbf{A}\ne 0\\\\ -m-1\ne 0\\\\ \boxed{\begin{array}{c}m\ne -1 \end{array}}$


$\bullet\;\;$ Para $m=-1,$ o sistema fica

$\left\{\! \begin{array}{rcrc} -x+y&\!\!=\!\!&2&~~~~\mathbf{(i)}\\ x-y&\!\!=\!\!&-1&~~~~\mathbf{(ii)}\end{array}\right.$


Somando-se as equações $\mathbf{(i)}$ e $\mathbf{(ii)}$ membro a membro, obtemos

$-x+y+x-y=2-1\\\\0=1~~~~~~(\text{absurdo!})$


Logo, o sistema é impossível para $m=-1.$

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Resumindo, o sistema

$\left\{\! \begin{array}{rcl} mx+y&\!\!=\!\!&2\\ x-y&\!\!=\!\!&m\end{array} \right.$

é

$\bullet\;\;$ SPD, para $m\ne-1;$

$\bullet\;\;$ SI, para $m=-1.$


Bons estudos! :-)