Question

discuta os sistemas, ou seja, para quais valores os sistemas será: (SPD,SPI,SI)$\left \{ {{kx+y=1} \atop {x+y=2}} \right.$

Answer 1

$\left\{\! \begin{array}{rcl} kx+y&\!\!=\!\!&1\\ x+y&\!\!=\!\!&2\end{array} \right.$


Sistema de 2 equações e 2 variáveis. Reescrevendo o sistema na forma matricial, temos

$\underbrace{\left[\begin{array}{cc} k&1\\ 1&1 \end{array} \right ]}_{\mathbf{A}} \left[\begin{array}{c} x\\y \end{array} \right ]=\left[\begin{array}{c} 1\\2 \end{array} \right ]$


Calculando o determinante da matriz $\mathbf{A}:$

$\det\mathbf{A}=\det\!\left[\begin{array}{cc} k&1\\ 1&1 \end{array} \right ]\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\det\mathbf{A}=k-1 \end{array}}$


$\bullet\;\;$ O sistema será possível e determinado (SPD), se e só se

$\det\mathbf{A}\ne 0\\\\ k-1\ne 0\\\\ \boxed{\begin{array}{c}k\ne 1 \end{array}}$


$\bullet\;\;$ Vamos ver o que acontece para $k=1:$

O sistema fica

$\left\{\! \begin{array}{rclc} x+y&\!\!=\!\!&1&~~~~\mathbf{(i)}\\ x+y&\!\!=\!\!&2&~~~~\mathbf{(ii)}\end{array} \right.$


Subtraindo-se as equações $\mathbf{(i)}$ e $\mathbf{(ii)}$ membro a membro, obtemos

$x+y-(x+y)=1-2\\\\ 0=-1~~~~\text{(absurdo!!!)}$


Logo, o sistema é impossível para $k=1.$

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Em resumo, o sistema

$\left\{\! \begin{array}{rcl} kx+y&\!\!=\!\!&1\\ x+y&\!\!=\!\!&2\end{array} \right.$

é

$\bullet\;\;$ SPD, para $k\ne 1;$

$\bullet\;\;$ SI, para $k=1.$


Bons estudos! :-)