Question

discuta os sistemas, ou seja, para quais valores os sistemas será: (SPD,SPI,SI)$\left \{ {{7x+y-3z=10} \atop {x+y+z=6}} \atop{4x+y+pz=q} \right.$

Answer 1

$\left\{ \!\begin{array}{ccr} 7x+y-3z&\!\!=\!\!&10\\ x+y+z&\!\!=\!\!&6\\ 4x+y+pz&\!\!=\!\!&q \end{array} \right.$


Sistema de 3 equações e 3 variáveis. Reescrevendo-o na forma matricial:

$\underbrace{\left[\begin{array}{ccc}7&1&-3\\1&1&1\\4&1&p \end{array}\right]}_{\mathbf{A}} \left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array} \right ]=\left[\begin{array}{c}10\\6\\q\end{array} \right ]$


Calculando o determinante da matriz $\mathbf{A}:$

$\det\mathbf{A}=\det\!\left[\begin{array}{ccc}7&1&-3\\1&1&1\\4&1&p \end{array}\right]\\\\\\ \det\mathbf{A}=7p+4-3-(-12+7+p)\\\\ \det\mathbf{A}=7p+4-3+12-7-p\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\det\mathbf{A}=6p+6 \end{array}}$


$\bullet\;\;$ O sistema será possível e determinado (SPD), se e só se

$\det\mathbf{A}\ne 0\\\\ 6p+6\ne 0\\\\ 6p\ne -6\\\\ \boxed{\begin{array}{c}p\ne -1 \end{array}}$


$\bullet\;\;$ Vejamos o que acontece com o sistema para $p=-1:$

O sistema fica

$\left\{ \!\begin{array}{ccr} 7x+y-3z&\!\!=\!\!&10\\ x+y+z&\!\!=\!\!&6\\ 4x+y-z&\!\!=\!\!&q \end{array} \right.$


Olhemos para a matriz de termos independentes.

$\left[\begin{array}{c}10\\6\\q\end{array} \right ]\ne \left[\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array} \right ]$

( não temos um sistema homogêneo )


Vamos calcular o determinante associado a uma das variáveis, digamos $x,$ da Regra de Cramer:

$\Delta_x=\det\!\left[\begin{array}{ccc}10&1&-3\\6&1&1\\q&1&-1 \end{array}\right ]\\\\\\ \Delta_x=-10+q-18-(-3q+10-6)\\\\ \Delta_x=-10+q-18+3q-10+6\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\Delta_x=4q-32 \end{array}}$


Temos duas possibilidades:

1. O sistema é impossível (SI) para $\Delta_x\ne 0:$

$4q-32\ne 0\\\\ 4q\ne 32\\\\ q\ne \dfrac{32}{4}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}q\ne 8 \end{array}}$


2. O sistema é possível e indeterminado (SPI), para $\Delta_x=0:$

$\boxed{\begin{array}{c}q=8\end{array}}$

___________________


Resumindo:

O sistema

$\left\{ \!\begin{array}{ccr} 7x+y-3z&\!\!=\!\!&10\\ x+y+z&\!\!=\!\!&6\\ 4x+y+pz&\!\!=\!\!&q \end{array} \right.$

é

$\bullet\;\;$ SPD, se $p\ne -1;$

$\bullet\;\;$ SI, se $p=-1$ e $q\ne 8;$

$\bullet\;\;$ SPI, se $p=-1$ e $q=8.$



Bons estudos! :-)