Question

A história da teoria das probabilidades, teve início com os jogos de cartas, dados e de roleta. Esse é o motivo da grande existência de exemplos de jogos de azar no estudo da probabilidade. A teoria da probabilidade permite que se calcule a chance de ocorrência de um número em um experimento aleatório.
Experimento Aleatório
É aquele experimento que quando repetido em iguais condições, podem fornecer resultados diferentes, ou seja, são resultados explicados ao acaso. Quando se fala de tempo e possibilidades de ganho na loteria, a abordagem envolve cálculo de experimento aleatório.
Espaço Amostral
É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. A letra que representa o espaço amostral, é S.
Com os dados acimas explicados....resolva ................
Lançando uma moeda e um dado, simultaneamente, sendo S o espaço amostral, constituído pelos 12 elementos:

S = {K1, K2, K3, K4, K5, K6, R1, R2, R3, R4, R5, R6}


A) Escreva explicitamente os seguintes eventos: A={caras e m número par aparece}, B={um número primo aparece}, C={coroas e um número ímpar aparecem}.

B) Idem, o evento em que:
a) A ou B ocorrem;
b) B e C ocorrem;
c) Somente B ocorre.


C) Quais dos eventos A,B e C são mutuamente exclusivos

Answer 1

Sendo

$K=\text{cara};\\\\ R=\text{coroa}.$

$\bullet\;\;A=\{K,\,R\}$ resultados possíveis para o lançamento de uma moeda;

$\bullet\;\;B=\{1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6\}$ resultados possíveis para o lançamento de um dado.


O espaço amostral é o seguinte:

$S=A\times B\\\\ S=\big\{(x,\,y):~x\in A~~\text{ e }~~y\in B\big\}\\\\\\ \begin{array}{ll} S=\big\{&\!\!\!\!\!(K,\,1),\;(K,\,2),\;(K,\,3),\;(K,\,4),\;(K,\,5),\;(K,\,6),\\\\ &\!\!\!\!\!(R,\,1),\;(R,\,2),\;(R,\,3),\;(R,\,4),\;(R,\,5),\;(R,\,6)\big\} \end{array}$


$S$ é o conjunto de todas as combinações de resultados que se pode obter, quando lançamos uma moeda e um dado.

_____________________

Os eventos pedidos:

$\bullet\;\;A=\big\{(x,\,y)\in S:~x=K~\text{ e }~y\text{ \'e par}\big\}\\\\ \boxed{\begin{array}{c}A=\big\{(K,\,2),\,(K,\,4),\,(K,\,6)\big\}\end{array}}$


$\bullet\;\;B=\big\{(x,\,y)\in S:~y\text{ \'e primo}\big\}\\\\ \boxed{\begin{array}{c}B=\big\{(K,\,2),\,(K,\,3),\,(K,\,5),\,(R,\,2),\,(R,\,3),\,(R,\,5)\big\}\end{array}}$


$\bullet\;\;C=\big\{(x,\,y)\in S:~x=R~\text{ e }~y\text{ \'e \'impar}\big\}\\\\ \boxed{\begin{array}{c}C=\big\{(R,\,1),\,(R,\,3),\,(R,\,5)\big\}\end{array}}$

______________

$\bullet\;\;$ O evento em que $A$ ou $B$ ocorrem é a união dos eventos $A$ com $B:$

$A\cup B=\big\{(x,\,y)\in S:~(x,\,y)\in A~\text{ ou }~(x,\,y)\in B\big\}\\\\ \boxed{\begin{array}{c}A\cup B=\big\{(K,\,2),\,(K,\,3),\,(K,\,4),\,(K,\,5),\,(K,\,6),\,(R,\,2),\,(R,\,3),\,(R,\,5)\big\}\end{array}}$


$\bullet\;\;$ O evento em que $B$ e $C$ ocorrem é a intersecção entre os eventos $B$ e $C:$

$B\cap C=\big\{(x,\,y)\in S:~(x,\,y)\in B~\text{ e }~(x,\,y)\in C\big\}\\\\ \boxed{\begin{array}{c}B\cap C=\big\{(R,\,3),\,(R,\,5)\big\}\end{array}}$


$\bullet\;\;$ Somente $B$ ocorre.

Aqui, cabe a seguinte interpretação:

Somente $B$ ocorre, mas não ocorrem os eventos $A$ nem $C.$ Nesse caso, o evento pedido é

$B-(A\cup C)=\big\{(x,\,y)\in S:~(x,\,y)\in B~\text{ e }~(x,\,y)\not\in (A\cup C)\big\}\\\\ B-(A\cup C)=\big\{(x,\,y)\in S:~(x,\,y)\in B~\text{ e }~(x,\,y)\not\in A~\text{ e }~(x,\,y)\not\in C\big\}\\\\ \boxed{\begin{array}{c}B-(A\cup C)=\big\{(K,\,3),\,(K,\,5),\,(R,\,2)\big\} \end{array}}$

_________________

Dois eventos são mutuamente exclusivos quando a ocorrência de um dos eventos é suficiente para que o outro evento não ocorra.

Em resumo, dois eventos são mutuamente exclusivos se, e só se, a interseção entre eles for o conjunto vazio $\varnothing.$


Então, temos que analisar as interseções dos eventos $A,$ $B$ e $C,$ dois a dois:

$\bullet\;\;A\cap B=\big\{(x,\,y)\in S:~(x,\,y)\in A~\text{ e }~(x,\,y)\in B\big\}\\\\ A\cap B=\big\{(K,\,2)\big\}\ne \varnothing~~~~~~(\diagup\!\!\!\!\!\diagdown)\\\\\\ \bullet\;\;A\cap C=\big\{(x,\,y)\in S:~(x,\,y)\in A~\text{ e }~(x,\,y)\in C\big\}\\\\ A\cap C=\big\{\big\}=\varnothing~~~~~~(\checkmark)\\\\\\ \bullet\;\;B\cap C=\big\{(x,\,y)\in S:~(x,\,y)\in B~\text{ e }~(x,\,y)\in C\big\}\\\\ B\cap C=\{(R,\,3),\,(R,\,5)\}\ne\varnothing~~~~~~(\diagup\!\!\!\!\!\diagdown)$


Logo, somente os eventos $A$ e $C$ são mutuamente exclusivos.


Bons estudos! :-)