Question

1-O gráfico representa a função quadrática f(x)=x^2+bx+c.O arco da parábola intersecta os eixos das abscissas e das ordenadas nos pontos indicados na figura,sendo p uma constante real positiva.O valor de f(2) é igual a
a)0
b)2
c)-3/2
d)4
e)-1/2
2-Vitor e Alice trocam bolas coloridas.Cada bola branca é trocada por x bolas azuis,e uma bola azul por x bolas vermelhas.Vitor tinha 2 bolas brancas,4 azuis e 3 vermelhas.Ao trocar todas por vermelhas,ele obteve um total de 73 bolas vermelhas.O número de bolas vermelhas equivalentes a uma branca é
a)36
b)9
c)49
d)25

Answer 1

Questão 1.

As raízes da função são

$x_1=p~~\text{ e }~~x_2=p+3.$


Portanto, a lei de $f$ deve ser dada por

$f(x)=a\,(x-x_1)(x-x_2)\\\\ f(x)=1\,(x-p)\big(x-(p+3)\big)\\\\ f(x)=(x-p)\,(x-p-3)\,,~~~~~~\mathbf{(i)}$

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O valor da função quando $x=0$ é $10:$

$f(0)=10\\\\ (0-p)\,(0-p-3)=10\\\\ p\,(p+3)=10\\\\ p^2+3p-10=0\\\\ p^2+5p-5p+3p-10=0\\\\ p^2+5p-2p-10=0\\\\ p(p+5)-2(p+5)=0\\\\ (p+5)(p-2)=0$

$(p+5)(p-2)=0\\\\ \begin{array}{rcl} p+5=0&~\text{ ou }~&p-2=0\\\\ p=-5~~(\text{n\~ao serve})&~\text{ ou }~&p=2 \end{array}\\\\\\ \therefore~~\boxed{\begin{array}{c}p=2 \end{array}}$


Sendo assim,

$f(x)=(x-2)(x-2-3)\\\\ f(x)=(x-2)(x-5)\\\\\\ \therefore~~\boxed{\begin{array}{c}f(2)=0 \end{array}}$

_______________

Questão 2.

$1\text{ branca}~\leftrightarrow~x\text{ azuis}\\\\ 1\text{ azul}~\leftrightarrow~x\text{ vermelhas}$


Portanto,

$1\text{ branca}~\leftrightarrow~x\text{ azuis}~\leftrightarrow~x^2\text{ vermelhas}$


Vitor tinha

$\bullet\;\;$ 2 bolas brancas, o que equivale a $2x^2$ bolas vermelhas;

$\bullet\;\;$ 4 bolas azuis, que equivalem a $4x$ bolas vermelhas;

$\bullet\;\;$ 3 bolas vermelhas, que equivalem a 3 bolas vermelhas (:-P)

___________________

O total equivalente em bolas vermelhas foi $73.$ Portanto,

$2x^2+4x+3=73\\\\ 2x^2+4x+3-73=0\\\\ 2x^2+4x-70=0\\\\ 2\cdot (x^2+2x-35)=0\\\\ x^2+2x-35=0\\\\ x^2+7x-7x+2x-35=0\\\\ x^2+7x-5x-35=0\\\\ x(x+7)-5(x+7)=0\\\\ (x-5)(x+7)=0$

$\begin{array}{rcl} x-5=0&~\text{ ou }~&x+7=0\\\\ x=5&~\text{ ou }~&x=-7~~\text{(n\~ao serve)} \end{array}\\\\\\ \therefore~~\boxed{\begin{array}{c}x=5 \end{array}}$

__________________

$1\text{ branca}~~\leftrightarrow~~x^2\text{ vermelhas}\\\\ 1\text{ branca}~~\leftrightarrow~~5^2\text{ vermelhas}\\\\ 1\text{ branca}~~\leftrightarrow~~25\text{ vermelhas}$


Resposta: alternativa $\text{d) }25.$