Question

Fale se estes vetores são ortogonais ou paralelos ?
u=(-2,-2) , v=(3,-3) e w(-1,-1)
a) u,v
b)u,w

Answer 1

a)

Para que " u e v" Sejam paralelos. Deveremos ter:

kv = u

ou

v = kv

Desse modo teremos:

v = k*v

(3i, -3j) = k*(-2i, -2j)

(3i, -3j) = (-2ik, -2kj)

3 = -2k
-3 = -2k

Temos um sistema impossivel. Portanto, u e v não são paralelos.

Vamos testar se eles são ortogonais da seguinte maneira.

v.u = 0

Pelo protudo escalar.

(3,-3)(-2,-2) =0

3*-2 -3*-2 = 0

-6+6 = 0

0 = 0

Verdadeiro.
___________


b)

Vamos testar pela regra da constante k.

u = kw

(-2i,-2j) = k(-1i,-1j)

(-2i,-2j) = (-ki, -kj)

-2 = -k

-2 = -k

k = 2

Verdadeiro, u e w são paralelos.

Answer 2

Os vetores são paralelos se um pode ser escrito como uma multiplicação escalar do outro. Ou seja, se dois vetores são paralelos então possuem mesma base.
Por outro lado, dois vetores serão ortogonais se seu produto interno é nulo.
a) não é paralelo, pois u e v não possuem mesma base. Veja, u=(-2,-2)=-2(1,1) e v=(3,-3)=3(1,-1). note que u tem base (1,1) e v tem base (1,-1). como as bases são diferentes, não são paralelos. Por outro lado, <u,v> =<(-2,-2),(3,-3)>=(-6+6)=0. Como o produto interno de u por v deu nulo, os vetores são ortogonais.
b) Pelos motivos mostrados na letra anterior, u e w são paralelos.

Espero ter ajudado.