Question

Resolva, faça o gráfico e dê a solução da inequação:

a) (x²+x-6).(-x²-2x+3) ≥ 0

Answer 1

Vamos lá.

Temos a seguinte inequação-produto:

(x²+x-6)*(-x²-2x+3) ≥ 0

Como já fizemos em questões suas anteriores, vamos encontrar as raízes de f(x) = x²+x-6 e de g(x) = -x²-2x+3 (creio que, agora, não necessitaremos encontrar as raízes no "passo a passo", pois as equações são bem simples e não vai haver simplificação de nenhuma raiz). Assim, teremos:

Raízes de f(x) ---> x²+x-6 = 0 ---> x' = -3; e x'' = 2
Raízes de g(x) ---> -x²-2x+3 = 0 ---> x' = -3; e x'' = 1,

Agora vamos à análise de variação de sinais de cada equação em função de suas raízes. Depois, encontraremos o domínio de f(x)*g(x) ≥ 0.

a) f(x) = x²+x-6 .......+ + + + + +  (-3)- - - - - - - - - - - -(2) + + + + + + + + ...
b) g(x) = -x²-2x+3...- - - - - - - - - (-3)++++++(1)- - - - - - - - - - - - - - - - - -...
c) a*b . . . . . . . . . . - - - - - - - - - (-3)- - - - -- (1)++++++(2)- - - - - - - - - - - ....

Como queremos que f(x)*g(x) seja MAIOR ou IGUAL a zero, então só nos vai interessar onde tiver sinal de MAIS (ou zero, que é quando x = -) no item "c" acima, que nos dá o resultado de f(x)*g(x) ≥ 0.
Assim, o intervalo que dá o domínio da inequação-produto da sua questão será:

x = - 3, ou 1 ≤ x ≤ 2  ------- Esta é a resposta.

Se quiser, você poderá apresentar o domínio (D) da seguinte forma, o que é a mesma coisa:

D = {x ∈ R | x = - 3, ou 1 ≤ x ≤ 2}

Ou ainda, também se quiser, o domínio poderá ser apresentado do sleguinte modo, o que significa o mesmo:

D =  [-3] U [1; 2]

Bem, agora vamos aos gráficos da inequação (visto num mesmo sistema de eixos cartesianos). Como aqui no Brainly eu não sei como construir gráficos, então veja no endereço abaixo e constate tudo o que dissemos sobre eles até agora. Veja lá:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=(x%C2%B2%2Bx-6)(-x%C2%B2-2x%2B3)+%E2%89%A5+0

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.