Question

num relógio convencional, as 3h pontualmente, vemos que o ângulo formado entre ponteiro dos minutos e o das horas mede 90°. A partir desse instante, o menor intervalo de tempo necessário para que esses ponteiros fiquem exatamente um sobre o outro

Answer 1

Primeiramente, gostaria de informar-lhe que amei fazer esta questão, não é daquelas para separar os cães dos lobos, mas é interessante sua realização, talvez porque eu não tenha certa afinidade por movimento circulares...
Vamos descobrir quantos graus há entre os números do relógio, somente para facilitar a contagem e também minha explicação:
São 12 números, distribuídos em 2π radianos, sendo assim:
$\frac{2\pi}{12}=\frac{\pi}{6}$
Então o ângulo percorridos pelos ponteiros  ao migrarem de um número para outro vale $\frac{\pi}{6}$ $rad$.
O ponteiro h será o das horas e o ponteiro m dos minutos. Sabemos que o ponteiro das horas (h) passa de um número para outro, isto é, percorre $\frac{\pi}{6}$ radianos em uma hora = 60 minutos, então:
$v_{\alpha h}=\frac{\frac{\pi}{6}}{60}=\frac{\pi}{360}$ $rad/min$
Obs.: utilizarei $v_{\alpha}$ para representar a velocidade angular, pois o LaTeX não aceita o ômega...
Sabemos também que o ponteiro dos minutos (m) passa de um número para outro, ou seja, percorre $\frac{\pi}{6}$ radianos em 5 minutos. Daí:
$v_{\alpha m}=\frac{\frac{\pi}{6}}{5}=\frac{\pi}{30}$ $rad/min$
Eles se encontram quando os ângulos formados em relação ao estado inicial, isto após $t$ minutos, forem iguais, então:
$\alpha_{h}=\alpha_{m}$
Isto é: o ângulo final do ponteiro das horas igual ao ângulo final dos ponteiros dos minutos (é como no movimento retilíneo uniforme, $s_{1}=s_{2}$, em que para haver encontro, os corpos devem possuir um espaço final coincidente). Sendo assim:
$\alpha_{oh}+v_{\alpha h}t=\alpha_{om}+v_{\alpham}t$
Onde $\alpha_{o}$ é o ângulo inicial (o ângulo que os ponteiros formam com o referencial, que neste caso é o número 12).
$v_{\alpha h}t-v_{\alpha m}t = \alpha_{om}-\alpha_{oh}$
$t(v_{\alpha h}-v_{\alpha m})=\alpha_{om}-\alpha_{oh}$
$t=\frac{|\alpha_{om}-\alpha_{oh}|}{|v_{\alpha h-v_{\alpha m}}|}$
Devemos colocar em módulo pois o tempo não pode ser negativo. Vale lembrar que o fato da resposta ser negativa não influencia no resultado, uma vez que realizamos tanto uma análise quantitativa quanto uma vetorial da questão.
$t=\frac{|0-90|}{|\frac{1}{2}-6|}$
$t=\frac{180}{11}$
**Passei para graus para a resposta ficar totalmente numérica, sem que tenhamos que substituir π.
$t=16,3636$ minutos