Question

O volume v, em centímetro cúbico, de um corpo (amostra de matéria) varia em função da temperatura t, em grau Celsius, de acordo com a função v(t) = (2 - k)t / k + 2k, sendo k uma constante real não nula. Para que valores de k a taxa de variação dessa função é positiva? (Resolução pfvr!)

Answer 1

$v(t)=\dfrac{(2-k)t}{k}+2k\\\\\\v(t)=\left(\dfrac{2-k}{k}\right)t+2k$

Note que essa é uma equação de reta em t, logo a taxa de variação é dada pelo coeficiente angular da reta:

$m=\dfrac{2-k}{k}$

A taxa de variação será positiva se

$\dfrac{2-k}{k}~\textgreater~0$

Temos que fazer um estudo de sinais do numerador e do denominador

$\bullet~~2-k~\textgreater~0~~~\leftrightarrow~~k~\textless~2\\\bullet~2-k~\textless~0~~~\leftrightarrow~~k~\textgreater~2$

Já no denominador, temos um caso trivial, pois esse será positivo se k é positivo e negativo se k é negativo.

Veja a imagem em anexo, que corresponde ao estudo de sinais da função racional. Com isso, temos que k deve pertencer ao intervalo (0,2).

$\boxed{\boxed{\dfrac{2-k}{k}~\textgreater~0~~~\leftrightarrow~~~k\in(0,2)}}$