Question

Uma pirâmide é de base hexagonal. O lado de hexágono da base mede 6 cm. A altura da pirâmide é 30 cm. Uma secção transversal é feita a 10 cm do vértice de pirâmide. Qual é a área da secção transversal?

Answer 1

Seguem em anexo a base e a vista lateral da pirâmide.

De acordo com o enunciado, a pirâmide tem base hexagonal regular, com lado medindo

$\ell=6\mathrm{~cm}$


Observe a figura 2. Os triângulos $ABC$ e $PQC$ são semelhantes. Portanto, devemos ter

$\dfrac{PQ}{MC}=\dfrac{AB}{OC}\\\\\\\dfrac{2\ell}{h}=\dfrac{x}{10}\\\\\\ \dfrac{12}{30}=\dfrac{x}{10}\\\\\\ x=10\cdot \dfrac{12}{30}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}x=4\mathrm{~cm} \end{array}}$


A área da seção transversal é a área de um hexágono regular, cujo lado mede $\dfrac{x}{2}=2\mathrm{~cm}:$

$A_s=6\cdot \dfrac{\left(\frac{x}{2}\right)^2\sqrt{3}}{4}\\\\\\ A_s=6\cdot \dfrac{2^2\sqrt{3}}{4}\\\\\\ A_s=6\cdot \dfrac{4\sqrt{3}}{4}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}A_s=6\sqrt{3}\mathrm{~cm^2} \end{array}}$


Bons estudos! :-)