Question

Determine, se existir, a inversa da matriz:

Answer 1

Vamos lá.
Pede-se para calcular, se existir, a matriz inversa da matriz abaixo:

. . . .|0...0....1|
A = |2...0...0|
. . . |0....1...0|

Veja: dada uma matriz, ela só terá inversa, se o determinante da matriz dada for diferente de zero. Então vamos ver qual é o determinante da matriz dada. Assim, colocando-a em forma de desenvolver (método de Sarrus), teremos:

|0...0...1|0...1|
|2...0...0|2...0| ---- desenvolvendo o determinante (d), teremos:
|0...1...0|0...1|

d = 0*0*0 +  0*0*0 + 1*2*1 - (0*0*1 + 1*0*0 + 0*2*1)
d = 0 + 0 + 2 - (0 + 0 + 0)
d = 2 - (0)
d = 2 <--- Veja: como o seu determinante é diferente de zero, então a matriz A terá inversa.
Para calculá-la, faremos o seguinte: multiplicaremos a matriz dada pela matriz inversa e igualamos à matriz identidade (da mesma ordem da matriz A). Assim, faremos: 

|0...0...1|*|a...b...c| = |1...0...0|
|2...0...0|*|d...e...f| = |0...1...0| ---- efetuando este produto, teremos:
|0...1...0|*|g...h....i| = |0...0...1|

|0*a+0*d+1*g...0*b+0*e+1*h.......0*c+0*f+1*i| = |1...0...0|
|2*a+0*d+0*g...2*b+0*e+0*h...2*c+0*e+0*i| = |0...1...0|
|0*a+1*d+0*g...0*b+1*e+0*h......0*c+1*f+0*i| = |0...0...1|

|0+0+g.......0+0+h......0+0+i| = |1...0...0|
|2a+0+0...2b+0+0...2c+0+0| = |0...1...0|
|.0+d+0......0+e+0......0+f+0| = |0...0...1|

|..g.....h......i| = |1...0...0|
|2a...2b...2c| = |0...1...0| ---- daqui você conclui que:
|.d....e.......f| = |0...0...1|

g = 1
h = 0
i = 0
2a = 0 ---> a = 0/2 ---> a = 0
2b = 1 ---> b = 1/2
2c = 0 ---> c = 0/2 ---> c = 0
d = 0
e = 0
f = 1

Assim, teremos para a matriz inversa:

|a...b...c| = |0...1/2...0|
|d...e...f| = |0.....0.....1| <--- Esta é a matriz inversa pedida.
|g...h...i| = |1.....0.....0|

Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.