Question

calculo integral 3
Derivada da função

Answer 1

Correção ao enunciado da questão: A função $F(x,\,y,\,z)$ não representa um campo vetorial, é apenas uma função real de três variáveis.

Esta função dada é

$F(x,\,y,\,z)=x^3 y-xy^3+\cos x$

$F$ não é campo vetorial!!!


Para encontrar o campo vetorial gradiente de $F,$ precisamos das derivadas parciais de $F$ em relação a cada uma das variáveis.


$\bullet\;\;$ Derivada parcial de $F$ em relação a $x:$

( considera as outras variáveis $y$ e $z$ como constantes, e deriva normalmente em relação a $x$ )

$\dfrac{\partial F}{\partial x}(x,\,y,\,z)=\dfrac{\partial }{\partial x}(x^3 y-xy^3+\cos z)\\\\\\ =\dfrac{\partial }{\partial x}(x^3 y)-\dfrac{\partial }{\partial x}(xy^3)+\dfrac{\partial }{\partial x}(\cos z)\\\\\\ =y\,\dfrac{\partial }{\partial x}(x^3)-y^3\,\dfrac{\partial }{\partial x}(x)+\dfrac{\partial }{\partial x}(\cos z)\\\\\\ =y\cdot 3x^2-y^3\cdot 1+0\\\\\\ \therefore~~\boxed{\begin{array}{c}\dfrac{\partial F}{\partial x}(x,\,y,\,z)=3x^2y-y^3 \end{array}}$

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$\bullet\;\;$ Derivada parcial de $F$ em relação a $y:$

( considera as outras variáveis $x$ e $z$ como constantes, e deriva normalmente em relação a $y$ )

$\dfrac{\partial F}{\partial y}(x,\,y,\,z)=\dfrac{\partial }{\partial y}(x^3 y-xy^3+\cos z)\\\\\\ =\dfrac{\partial }{\partial y}(x^3 y)-\dfrac{\partial }{\partial y}(xy^3)+\dfrac{\partial }{\partial y}(\cos z)\\\\\\ =x^3\,\dfrac{\partial }{\partial y}(y)-x\,\dfrac{\partial }{\partial y}(y^3)+\dfrac{\partial }{\partial y}(\cos z)\\\\\\ =x^3-x\cdot 3y^2+0\\\\\\ \therefore~~\boxed{\begin{array}{c}\dfrac{\partial F}{\partial y}(x,\,y,\,z)=x^3-3xy^2 \end{array}}$

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$\bullet\;\;$ Derivada parcial de $F$ em relação a $z:$

( considera as outras variáveis $x$ e $y$ como constantes, e deriva normalmente em relação a $z$ )

$\dfrac{\partial F}{\partial z}(x,\,y,\,z)=\dfrac{\partial }{\partial z}(x^3 y-xy^3+\cos z)\\\\\\ =\dfrac{\partial }{\partial z}(x^3 y)-\dfrac{\partial }{\partial z}(xy^3)+\dfrac{\partial }{\partial z}(\cos z)\\\\\\ =0-0-\mathrm{sen\,}z\\\\\\ \therefore~~\boxed{\begin{array}{c} \dfrac{\partial F}{\partial z}(x,\,y,\,z)=-\mathrm{sen\,}z \end{array}}$

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O campo vetorial gradiente de $F$ é

$\nabla F(x,\,y,\,z)=\dfrac{\partial F}{\partial x}\overrightarrow{\mathbf{i}}+\dfrac{\partial F}{\partial y}\overrightarrow{\mathbf{j}}+\dfrac{\partial F}{\partial z}\overrightarrow{\mathbf{k}}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\nabla F(x,\,y,\,z)=(3x^2y-y^3)\overrightarrow{\mathbf{i}}+(x^3-3xy^2)\overrightarrow{\mathbf{j}}-\mathrm{sen\,}z\overrightarrow{\mathbf{k}} \end{array}}$


( este sim é um campo vetorial. O gradiente... )


Resposta: alternativa $\text{(B).}$