Question

Alguém consegue resolver essa inequação?

2x³-6x²+x-3<0

grato

Answer 1

Oi Andrei

2x³ - 6x² + x - 3 = 2x²*(x - 3) + (x - 3) = (2x² + 1)*(x - 3)

(2x² + 1)*(x - 3) < 0

x - 3 < 0

x < 3

.

Answer 2

Vamos lá.

Pede-se para resolver a seguinte inequação:

2x³ - 6x² + x-3 < 0.

Veja: nos fatores "2x³-6x²" vamos colocar "2x²" em evidência, ficando assim:

2x²*(x-3) + x-3 < 0 ----- para facilitar, vamos colocar o último "x-3" entre parênteses, ficando assim:

2x²*(x-3) + (x-3) < 0 ---- agora poremos (x-3) em evidência, ficando:

(x-3)*(2x²+1) < 0 .

Agora note: ficamos com o produto entre duas funções, cujo resultado deverá ser MENOR do que zero (ou seja, deverá ser negativo).
Temos f(x) = x-3 e temos g(x) = 2x²+1.

Vamos fazer o seguinte: encontraremos as raízes de cada uma das equações. Depois, em função de suas raízes, estudaremos a variação de sinais de cada uma delas e, finalmente, encontraremos qual é o domínio da inequação inicial, que é: (x-3)*(2x²+1) < 0. Então:

f(x) = x - 3 ---> raízes: x-3 = 0 ---> x = 3
g(x) = 2x²+1 ---> raízes: 2x²+1 = 0 ---> 2x² = - 1 ---> x² = -1/2 <--- Impossível. Não existe nenhuma base que, estando ao quadrado, dê resultado negativo. Então esta equação não terá raízes reais (mas apenas raízes complexas). Nesse caso, como o termo "a" é positivo (o termo "a" é o coeficiente de x²), então esta equação será SEMPRE positiva para qualquer que seja o valor real que "x" venha a assumir.
Assim, na análise de variação de sinais de cada uma delas, teremos:

a) f(x) = x - 3 ..... - - - - - - - - - (3) + + + + + + + + + + + + + + +
b) g(x) = 2x²+1... + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
c) a*b . . . . . . . . - - - - - - - - - -(3) + + + + + + + + + + + + + +

Como queremos que a inequação f(x)*g(x) < 0, ou seja, como queremos que o produto entre elas seja negativo (menor do que zero), então só nos vai interessar onde tiver sinal de menos no item "c" acima, que nos dá o resultado do produto entre f(x) e g(x). Assim, o intervalo do domínio da inequação será este:

x < 3 ------ Esta é a resposta.

Se você quiser, poderá apresentar o domínio da inequação original da seguinte forma, o que é a mesma coisa:

D = {x ∈ R | x < 3}

Ou ainda, também se quiser, o domínio poderá ser apresentado do seguinte modo, o que significa o mesmo:

D = (-∞; 3) .

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.