Question

SOB FORMA DE UMA INTEGRAL ITERADA TRIPLA ENCONTRE A MASSA DE UM SOLIDO LIMITADO ACIMA PELO CONE Ø = π/6 E ABAIXO DA ESFERA X²+Y²+Z²=1 SABENDO QUE SUA
DENSIDADE É D = √(X²+Y²+Z²).

Answer 1

• Dado um sólido $D$ cuja densidade é dada pela função $\delta(x,\,y,\,z),$ a massa de $D$ é dada por

$\mathrm{Massa}(D)=\displaystyle\iiint_D \delta(x,\,y,\,z)\,dV~~~~~~\mathbf{(i)}$

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No caso aqui, a função densidade de $D$ é

$\delta(x,\,y,\,z)=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

onde $D$ é o sólido

• limitado acima pelo cone $\varphi=\dfrac{\pi}{6}$ (dado em coordenadas esféricas);

• limitado abaixo pela esfera $x^2+y^2+z^2=1$ (dado em coordenadas cartesianas).

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• Mudança para coordenadas esféricas.

$\left\{\! \begin{array}{l} x=\rho\,\mathrm{sen\,}\varphi\cos \theta\\\\ y=\rho\,\mathrm{sen\,}\varphi\,\mathrm{sen\,}\theta\\\\ z=\rho\cos \varphi \end{array} \right.$


O módulo do Jacobiano desta transformação é $|\mathrm{Jac\,}\phi|=\rho^2\,\mathrm{sen\,}\varphi.$

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Resta-nos agora encontrar os extremos de integração em coordenadas esféricas.

• Observe que a projeção do sólido sobre o plano $xy$ é um círculo, que ocupa todos os quatro quadrantes. Logo,

$0\le \theta\le 2\pi$


• É imediato verificar que os extremos de $\varphi$ são

$\dfrac{\pi}{6}\le \varphi \le \pi$


• A variável $\rho$ é medida na direção radial a partir da origem até a superfície esférica

$x^2+y^2+z^2=1$

que em coordenadas esféricas nada mais é do que a porção da esfera de equação

$\rho=1$


Logo, os extremos para $\rho$ são

$0\le \rho\le 1.$

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Reescrevendo a função densidade em termos de $(\rho,\,\theta,\,\varphi):$

$\delta(x,\,y,\,z)=\gamma(\rho,\,\theta,\,\phi)\\\\\ \sqrt{x^2+y^2+z^2}=\gamma(\rho,\,\theta,\,\phi)\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\gamma(\rho,\,\theta,\,\phi)=\rho \end{array}}$

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Agora, vamos escrever as integrais iteradas usando coordenadas esféricas:

$\mathrm{Massa}(D)=\displaystyle\iiint_D \delta(x,\,y,\,z)\,dV\\\\\\ =\iiint_{D_{\rho,\,\theta,\,\varphi}}\gamma(\rho,\,\theta,\,\phi)\cdot |\mathrm{Jac\,}\phi|\,d\rho\,d\varphi\,d\theta\\\\\\ =\int_0^{2\pi}\int_{\pi/6}^{\pi}\int_0^1 \rho\cdot \rho^2\,\mathrm{sen\,}\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta\\\\\\ =\int_0^{2\pi}\int_{\pi/6}^{\pi}\int_0^1 \rho^3\,\mathrm{sen\,}\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta$


$=\displaystyle\int_0^{2\pi}\int_{\pi/6}^{\pi}\mathrm{sen\,}\varphi\cdot \left.\left(\dfrac{\rho^4}{4} \right )\right|_{\rho=0}^{\rho=1} d\varphi\,d\theta\\\\\\ =\int_0^{2\pi}\int_{\pi/6}^{\pi}\mathrm{sen\,}\varphi\cdot\left(\dfrac{1^4}{4}-\dfrac{0^4}{4} \right ) d\varphi\,d\theta\\\\\\ =\int_0^{2\pi}\int_{\pi/6}^{\pi}\dfrac{1}{4}\,\mathrm{sen\,}\varphi\,d\varphi\,d\theta\\\\\\ =\int_0^{2\pi}\left.\left(-\,\dfrac{1}{4}\cos \varphi \right )\right|_{\pi/6}^{\pi}\,d\theta$


$=\displaystyle\int_0^{2\pi}\left(-\,\frac{1}{4}\cos \pi+\frac{1}{4}\cos \dfrac{\pi}{6}\right )d\theta\\\\\\ =\int_0^{2\pi}\left(-\,\frac{1}{4}\cdot (-1)+\frac{1}{4}\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right )d\theta\\\\\\ =\int_0^{2\pi}\left(\dfrac{1}{4}+\,\frac{\sqrt{3}}{8}\right )d\theta\\\\\\ =\frac{2+\sqrt{3}}{8}\int_0^{2\pi}d\theta\\\\\\ =\frac{2+\sqrt{3}}{8}\cdot \theta\Big|_0^{2\pi}\\\\\\ =\frac{2+\sqrt{3}}{8}\cdot (2\pi-0)\\\\\\ =\frac{\big(2+\sqrt{3}\big)\,\pi}{4}\mathrm{~u.m.}$


$\therefore~~\boxed{\begin{array}{c}\mathrm{Massa}(D)=\dfrac{\big(2+\sqrt{3}\big)\,\pi}{4}\mathrm{~u.m.} \end{array}}$


Bons estudos! :-)