Question

(UFJS - pism 2 2016) - Seja 0< x < pi/2 uma medida de ângulo em radianos tal que

cosx + senx = raiz de 5/2
cosx - senx = raiz de 3/2

O valor de tg2x é:
A - 4 - raiz de 15
B - raiz de 15/15
C - raiz de 15/4
D - raiz de 15
E - 4.raiz de 15

Answer 1

Cara fiz assim...

Nao tem nenhum dado errado ai n :/

Answer 2

Resposta:

√15/15

Explicação passo-a-passo:

colocamos as duas equações em um sistema

$\left \{ {{cosx + senx = \sqrt{5}/2 } \atop {cosx - senx = \sqrt{3}/2 }} \right.$

e multiplicamos uma equação pela outra

$(cosx + senx)(cosx - senx) = \frac{\sqrt{5} }{2} * \frac{\sqrt{3} }{2} \\Cosx^{2} - senx^{2} = \frac{\sqrt{15} }{4}$

Aí temos a fórmula em que Cos2x = cosx² - senx²

e substituímos :

$cosx^{2} - senx^{2} = \frac{\sqrt{15} }{4}$    então   $cosx_{2x} = \frac{\sqrt{15} }{4}$

nós sabemos que $tgx = \frac{senx}{cosx}$, mas pode ser também

Dessa forma precisamos achar ainda o seno e a tangente

Nós temos a lei fundamental da trigonometria que diz que $senx^{2} + cosx^{2} = 1$ então podemos dizer também $sen^{2}_ {2x} + cosx^{2}_{2x} = 1$

dessa forma substituímos os valores

                 $sen^{2} _{2x} + (\frac{\sqrt{15} }{4})^{2} = 1 \\\\sen^2_{2x} = 1 - \frac{15}{4} = \frac{1}{16} \\\\sen_{2x} = \sqrt{ \frac{1}{16} } \\\\sen_{2x} = \frac{1}{4}$

agora já temos os valores de $sen_{2x}$ e o $cos_{2x}$ e falta o valor da tangente     então  $tg_{2x} = \frac{sen_{2x} }{cos_{2x} }$  

           $tg_{2x} = \frac{1}{4} /\frac{\sqrt{15} }{4} }\\tg_{2x} = \frac{1}{\sqrt{15} } \\tg_{2x} = \frac{\sqrt{15} }{15}$

o resultado é tg2x = √15/15