Question

Como se faz?UPF 2015A quantidade de soluções que a equação trigonométrica sen4x-cos4x=1/2 admite no intervalo [0,] é:

Answer 1

Olá,

Temos:
sen^4(x) - cos^4(x) = 1/2

Sabemos que:
sen^2(x) + cos^2(x) = 1
sen^2(x) = 1 - cos^2(x)
[sen^2(x)]^2 = [1 - cos^2(x)]^2
sen^4(x) = 1 - 2cos^2(x) + cos^4(x)

Assim, substituindo na primeira equação:
sen^4(x) - cos^4(x) = 1/2
[1 - 2cos^2(x) + cos^4(x)] - cos^4(x) = 1/2
1 - 2cos^2(x) = 1/2
cos^2(x) = 1/4
cos(x) = +/- 1/2

Sabemos que:
cos(60º) = cos(120º) = +1/2
cos(240º) = cos(300º) = -1/2

Logo, para o intervalo entre 0 e 3pi, teremos 6 respostas, são elas:
60º, 120º, 240º, 300º, 420º e 480º.

Explicar com figuras é mais fácil... montar o ciclo trigonométrico marcando os ângulos vai te dar uma luz. Espero que tenha entendido!!!

Abraço

Answer 2

A quantidade de soluções que a equação trigonométrica sen⁴(x) - cos⁴(x) = 1/2 admite no intervalo [0,3π] é 6.

A equação trigonométrica é sen⁴(x) - cos⁴(x) = 1/2 e o intervalo é [0,3π].

Perceba que podemos escrever a equação trigonométrica da seguinte forma:

(sen²(x) + cos²(x))(sen²(x) - cos²(x)) = 1/2.

Da relação fundamental da trigonometria, temos que sen²(x) + cos²(x) = 1. Logo,

sen²(x) - cos²(x) = 1/2.

Multiplicando a equação por -1:

cos²(x) - sen²(x) = -1/2

cos(2x) = -1/2.

Vamos considerar que k = 2x.

Assim, cos(k) = -1/2.

Pelo círculo trigonométrico, temos três valores para k: 2π/3, 4π/3 e 8π/3.

Então,

2x = 2π/3 ∴ x = π/3

2x = 4π/3 ∴ x = 2π/3

2x = 8π/3 ∴ x = 4π/3.

Além disso, teremos: 5π/3, 7π/3 e 8π/3.

Portanto, são seis soluções.

Para mais informações sobre trigonometria, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/19199414