Question

Uma reação química resulta em formação de uma ou mais substâncias (produtos) a partir de um ou mais materiais(reagentes). A concentração de um reagente A e o número de mols por litro é denotada por [A]. Seja: A + B → C uma reação química onde uma molécula do produto C é produzida de uma molécula do reagente A e de uma molécula do reagente B. A taxa de reação é definida por r: $\frac{d[C]}{dt} = \frac{-d[A]}{dt} = \frac{-d[B]}{dt}$. As concentrações iniciais dos reagentes tem mesmo valor [A] = [B] = 5mols/litro e a concentração do produto, como função de tempo é dada por: $[C](t) = \frac{25kt}{5kt + 1}$ onde k é uma constante que depende do meio ambiente onde a reação acontece.

a) Mostre que a concentração x = [C] satisfaz a equação diferencial: $\frac{dx}{dt} = k(5-x)^2$

Answer 1

Temos que x=C(t) e que:
dx/dt=k.(5-x)²
Substituímos x por C:
dC(t)/dt=k.(5-C)²

Também temos que: 
C(t)=(25kt)/(5kt+1)
Calculamos a derivada de C(t) usando a regra do quociente:
dC(t)/dt=[25k(5kt+1)-25kt.(5k)]/(5kt+1)²

dC(t)/dt=[125k²t² +25k -125k²t²]/(5kt+1)²

dC(t)/dt=25k/(5kt+1)²

Substituímos na equação dada:
dC(t)/dt=k.(5-C)²

25k/(5kt+1)²=k.(5-C)²
Para satisfazer, essa igualdade ter que ser válida (vamos ter que achar uma trivialidade no final):

Simplificamos os k na equação e tiramos raiz dos dois lado:
5/(5kt+1)=(5-C)
Arranjando:
5=(5-C).(5kt+1)
5=25kt + 5 - 5ktC - C
0=25kt - 5ktC - C

Substituímos o C pela sua função:
C(t)=(25kt)/(5kt+1)

0=25kt - 5kt[(25kt)/(5kt+1)] - (25kt)/(5kt+1)
0=25kt - 125k²t²/(5kt+1) - 25kt/(5kt+1)
Multiplicamos tudo por (5kt+1):
0.(5kt+1)=25kt(5kt+1) -125k²t² -25kt

0=125k²t² +25kt -125k²t² -25kt
0=0

Espero ter ajudado =)