Question

me ajudem é do meu cursinho

Answer 1

A)

a) Vamos escrever o sistema:

$\begin{cases} -ax+2y+az=3 \\ 3x+ay-az=1 \\ 2x-4ay-2z=-6 \end{cases}$

b) De acordo com a Regra de Cramer, para que um sistema possua uma única solução, ou seja, que o sistema seja possível e determinado é necessário que o determinante da matriz dos coeficientes seja diferente de zero. Vamos então calcular este determinante que chamaremos D:

$D= \left|\begin{array}{ccc}-a&2&a\\3&a&-a\\2&-4a&-2\end{array}\right|\\ \\ D=2a^2-4a-12a^2-2a^2+12+4a^3\\ \\ D=4a^3-12a^2-4a+12$

Vamos encontrar as raízes deste polinômio, que serão valores que anulam o polinômio, devendo então a ser diferente destas raízes para que o sistema tenha uma única solução.

Da teoria dos polinômios temos que este  é divisível por(a - 1) pois a soma de seus coeficientes é nula.

Então podemos abaixar o grau do polinômio usando o Dispositivo de Briot-Rufini:
  
   1       4      -12       -4         12
-------------------------------------------
            4        -8      -12         0

As outras raízes do polinômio se obtêm da equação de segundo grau:

4n² - 8n - 12 = 0
Δ = (-8)² - 4.4.(-12)
Δ = 64 + 192 = 256

n1 = (8 - 16) / 8 = -1

n1 = (8 + 16) / 8 = 3

Logo para que o sistema tenha uma única solução:

a ≠ -1 ou a ≠ 1  ou a ≠ 3

B) Se a=-1, teremos o sistema:

$\begin{cases} x+2y-z=3 \\ 3x-y+z=1 \\ 2x+4y-2z=-6 \end{cases}\\ \\ Escrevendo \ o \ determinante \ da matriz \ dos \ coeficientes:\\ \\ D=\left[\begin{array}{ccc}1&2&-1\\3&-1&1\\2&4&-2\end{array}\right] \\ \\ D=2+4-12-2+12-4=0$

Sendo este determinante igual a zero, o sistema não terá soluções (sistema impos´´ivel) ou terá infinitas soluções (sistema indeterminado)