Question

Determine em R o conjunto solução da inequação

x / x³-x²+x-1 > 0

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se para determinar, no âmbito dos Reais, o conjunto-solução (domínio) da inequação abaixo:

x/(x³-x²+x-1) > 0

Veja que no denominador (x³-x²+x-1) poderemos colocar x² em evidência nos fatores "x³-x²", com o que ficaremos assim:

x/[x²(x-1) + x-1] > 0 ----- note que, agora, poderemos colocar "x-1" em evidência, com o que ficaremos da seguinte forma:

x/[(x-1)*(x²+1)] > 0 ----- Agora poderemos trabalhar com esta inequação, que é equivalente àquela dada inicialmente.
Veja que temos, no numerador, uma equação do 1º grau, que é f(x) = x; e, no denominador, temos o produto entre duas equações, sendo uma do primeiro grau [g(x) = x-1]; e outra do 2º grau [h(x) = x²+1].
Então vamos fazer o seguinte: calcularemos as raízes de cada uma das equações envolvidas na inequação dada e depois, em função delas (das raízes) estudaremos a variação de sinais de cada uma, encontrando, no final, o resultado da divisão do numerador pelo produto constante do denominador. E quando chegarmos a isso, estaremos encontrando o conjunto-solução (domínio) da inequação dada.  Assim, teremos:

f(x) = x ---> raízes: x = 0 ----> x = 0
g(x) = x-1 ---> raízes: x-1 = 0 ---> x = 1
h(x) = x²+1 ---> raízes: x²+1 = 0 ---> x² = - 1 <--- Impossível. Não existe nenhuma base que, elevada ao quadrado dê resultado negativo. Isto quer dizer que a equação h(x) não tem raízes reais (mas só raízes complexas). Quando isso ocorre, significa que a equação ou será totalmente positiva ou será totalmente negativa, ou seja, se o seu termo "a" (o termo "a" é o coeficiente de x²) for positivo, então a equação será SEMPRE positiva (e claro, se o termo "a" for negativo, a equação seria SEMPRE negativa). Mas, como neste caso, o termo "a" é positivo [h(x) = x²+1], então a função h(x) será SEMPRE positiva para qualquer que seja o valor que "x" venha a assumir.
Agora vamos estudar a variação de sinais de cada uma das equações, em função de suas raízes:

a) f(x) = x  ...... - - - - - - - - - - (0)+ + + + + + + + + + + + + + + + +...
b) g(x) = x-1 ...- - - - - - - - - - - - - - - - - - (1)+ + + + + + + + + + ++...
c) h(x) = x²+1..+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + ++....
d) a/(b*c).......+ + + + + + + +(0)- - - - - - (1)+ + + + + + + + + + +....

Assim, como queremos que f(x)/[g(x)*h(x)] > 0, então só nos vai interessar onde tiver sinal de MAIS no item "d" acima, que nos fornece o resultado da divisão de f(x) pelo produto g(x)*h(x).
Então os intervalos válidos para o conjunto-solução da inequação dada serão estes:

x < 0, ou x > 1 ----------- Esta é a resposta.

Se quiser, você poderá apresentar o conjunto-solução (domínio) da seguinte forma, o que significa a mesma coisa:

D = {x∈ R | x < 0, ou x > 1}

E ainda, também se quiser, o conjunto-solução (domínio) poderá ser apresentado do seguinte modo, o que quer dizer a mesma coisa:

D = (-∞; 0) ∪ (1; +∞)

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.