Question

1) Estima-se que daqui a t anos, a população de certo país será P(t)=50e^0,02t milhões de habitantes. Determine a taxa de variação da população com o tempo daqui a 10 anos.2) Um pesquisador estima que, t horas após uma toxina ser introduzida, a população de uma colônia de bactérias será P(t)= 10000(7+15e^-0,05t+te^-0,05t).a) Qual é a população no instante em que a toxina é introduzida?b) Em que instante a população é máxima? Qual é a população máxima?

Answer 1

A taxa de variação será a derivada no ponto fornecido.

Para isso temos que:

P(t) = 50×e^(0,02t)

Derivando essa função obtemos:

P(t)' =50×e^(0,02t)×(0,02t)'

P(t)' = 50×e^(0,02t)×0,02

P(t)' = e^(0,02t)
___________

Substituindo t = 10, teremos a taxa.

P(10)' = e^(0,02×10)

P(10)' = e^(0,2)

P(10)' ~ 1.2214027582
____________


2)

Letra A), basta substituirmo t = zero

P(t) =

10000[7 +15e^(-0,05t)+te^(-0,05t) ]

P(0) = 10000[ 7 +15e^(0)+0×e^(0) ]

P(0) = 10000[ 7 +15 ]

P(0) = 10000( 22 )

P(0) = 220.000
___________


Letra B)

Deveremos achar a derivada da função.

P(t) = 10000[7 +15e^(-0,05t)+te^(-0,05t) ]

Vamos efetuar a distributiva primeiramente.

P(t) = 70000 + 150000e^(-0,05t) + 10000te^(-0,05t)

Derivando:

P(t)' = 0+150000e^(-0,05t)×(-0,05) +10000×t'e^(-0,05t) +10000t×e^(-0,05t)×-0,05

P(t)' = -7500e^(-0,05t)+10000e^(-0,05t) -500te^(-0,05t)

P(t)' = 2500e^(-0,05t) - 500te^(-0,05t)
___________

O ponto máximo, será a raiz da derivada:

P(t)' = 0

Logo,

2500e^(-0,05t) -
500te^(-0,05t) = 0

e^(-0,05t)[2500-500t]= 0

2500 - 500t = 0

-500t = -2500

5t = 25

t = 25÷50

t = 5 horas
_____________

Subatiruindo t = 5 na função:

P(t) = 10000[7 +15e^(-0,05t)+te^(-0,05t) ]

P(5) = 10000[ 7 +15e^(-0,05×5) +0,5e^(-0,05×5) ]


P(5) =225,760.15661428