Question

Verifique se existe algum ponto em comum entre a circunferência x^2 + y^2-4x-14=0 e a reta x+y-8=0

Answer 1

- Vamos reduzir ambas as equações e em seguida iguala-las:

Circunferência:

x²+y²-4x-14=0
x²-4x+2²+y²=14
x²-4x+4+y²=14+4
x²-4x+4+y²=18
(x-2)²+y²=18 <=Equação da circunferência 
y²=18-(x-2)²
y²=18-x²+4x-4
y²=-x²+4x+14 <=Equação reduzida da circunferência 

Reta:

x+y-8=0 <= Equação geral da reta
y=-x+8 
y²=(-x+8)² (Elevando ao quadrado ambos os termos)
y²=x²-16x+64 <= Equação reduzida da reta

-Agora, vamos igualar as duas equações reduzidas:

Y²(Circunferência)=Y²(Reta):

-x²+4x+14=x²-16x+64
2x²-16x-4x+64-14=0
2x²-20x+50=0 (/2)
x²-10x+25=0 <= Equação do segundo grau

- Calculando o Δ da equação:

Δ = b² - 4 . a .c
Δ = -102 - 4 . 1 . 25 
Δ = 100 - 4. 1 . 25 
Δ = 0

-Há 1 raiz real.

-Aplicando Bhaskara:

-Neste caso, x' = x'':

x = (-b +- √Δ)/2a
x' = (--10 + √0)/2.1
x' = 10 / 2
x' = 5

X=5 <= Abscissa da intersecção da reta e circunferência 

-Substituindo o X em uma das equações:

x+y-8=0

(5)+y-8=0

y-3=0

y=3 <= Ordenada da intersecção da reta e  circunferência

Ponto em comum entre a circunferência e a reta => (5,3)