Question

3) (Unicamp-SP) Os ciclistas A e B partem do ponto P(-1,1) no mesmo instante e com velocidades de módulos constantes. O ciclista A segue a trajetória descrita pela equação 4y – 3x – 7 = 0 e o ciclista B, a trajetória descrita pela equação
x2 + y2 – 6x – 8y = 0. As trajetórias estão no mesmo plano e a unidade de comprimento é o quilômetro. Pergunta-se:
a) Quais as coordenadas do ponto Q, distinto de P, onde haverá cruzamento das duas trajetórias?
R) Q(7,7)
b) Se a velocidade do ciclista A for de 20km/h, qual deverá ser a velocidade do ciclista B para que cheguem no mesmo instante no ponto Q?

Answer 1

Ponto P(-1,1)
Ciclista A: 4Y-3X-7=0
Ciclista B: X²+Y²-6X-8Y=0

X²+Y²-6X-8Y=0
X²-6X+3²+Y²-8Y+4²=0          
X²-6X+9+Y²-8Y+16=9+16       R²=25
X²-6X+9+Y²-8Y+16=25           R=√25
(X-3)²+(Y-4)²= 5²                     R=5
 
Centro (3,4) 
Raio = 5

O raio é a metade da distância total percorrida pelo ciclista A, então;
R=5.2=10

10 Km <== Distância total percorrida pelo ciclista A

O centro é o ponto médio entre o ponto de partida (ponto P) e o ponto de destino (ponto Q). Então, vamos achar o ponto Q usando o método do ponto médio:

XC=(XP+XQ)/2
3=(-1+XQ)/2
6=-1+XQ
XQ=6+1
XQ=7

YC=(YP+YQ)/2
4=(1+YQ)/2
8=1+YQ
YQ=8-1
YQ=7

Ponto Q(7,7)

b)

2C=2πR
2C=2π5
2C=10π
2C=10(3,14)
2C=31,42
C=31,4/2
C=15,7

Distância percorrida pelo ciclista B => 15,7 Km
Distância percorrida pelo ciclista A => 10 Km

Velocidade      Distancia 
20km/h ---------- 10km
    x       ----------  15,7km

10x=314,2
x=314,2/10
x=31,42

A velocidade do ciclista B terá que ser ≈ 31,4km/h para que cheguem no mesmo instante 

*Na imagem abaixo está a situação do problema traçada graficamente.