Question

determine as coordenadas dos pontos em que a reta r, de equação y= -x+5, intersecta a circunferência de equação x2+y2-10x-2y+21=0

Answer 1

-Vamos, primeiramente, reduzir a equação da circunferência:

X²+Y²-10X-2Y+21=0
X²-10X+5²+Y²-2Y+1²=-21
X²-10X+25+Y²-2Y+1=-21+25+1     R²=5 
X²-10X+25+Y²-2Y+1=5                  R=√5
(X-5)²+(Y-1)²=√5
(X-5)²+(Y-1)²=(√5)²
(X-5)²+(Y-1)²=5 <= Equação geral da circunferência
(Y-1)²=5-(X-5)²
Y²-2Y+1=5-X²+10X-25
Y²=-X²+10X+2Y-21 <= Equação reduzida da circunferência 

Reta:

Y=-X+5

-Vamos pôr (-1) em ambos os membros e, em seguida, elevá-los ao quadrado.

Y=-X+5
(Y-1)²=(-X+4)² 
Y²-2Y+1=X²-8X+16
Y²=X²-8X+2Y+15

Igualando as equações:

-X²+10X+2Y-21=X²-8X+2Y+15
2X²-18X+36=0 (/2)
X²-9X+18=0 <=Equação de segundo grau

1) Calculando o Δ da equação completa:

a=1
b=-9
c=18

Δ = b² - 4.a.c
Δ = -9² - 4 . 1 . 18 
Δ = 81 - 4. 1 . 18 
Δ = 9

2) Aplicando Bhaskara:

x = (-b +- √Δ)/2a
x' = (--9 + √9)/2.1
x' = 12 / 2
x' = 6

x'' = (--9 - √9)/2.1
x'' = 6 / 2
x'' = 3

-Os dois ponto possuem abscissas (6,Y) e (3,Y). Agora vamos encontrar as ordenadas desses pontos. 

-Substituindo o X em uma das equações, temos:
-Primeiro ponto (6,Y)

Y=-X+5
Y=-(6)+5
Y=-6+5
Y=-1

- Quando X for 6, Y será -1. Ponto (6,-1)

-Segundo ponto (3,Y)

Y=-X+5
Y=-(3)+5
Y=-3+5
Y=2

- Quando X for 3, Y será 2. Ponto (3,2)

-Portanto, os dois pontos em que a reta (r) intersecta a circunferência são: (6,-1) e (3,2)