Question

A expressão da derivada y' para a função y = f(x) dada implicitamente pela expressão x³ + x²y + y² = 6 é :

a) y' = -3x²- xy / x²- 2y

b) y' = -3x²- 2y / x + y

c) y' = -3x²- 2xy / x² + 2y

d) y' = x² + y / 3x² + 2

e) y' = -2x² - xy / x² + 2y

Answer 1

Derivação implícita.

Sendo $y$ uma função de $x$ dado implicitamente pela equação geral

$x^3+x^2y+y^2=6$

encontrar $\dfrac{dy}{dx}.$

________________

Basta derivar os dois lados da igualdade em relação a $x,$ usando as regras usuais de derivação e lembrando que $y$ é uma função de $x:$

$\dfrac{d}{dx}(x^3+x^2y+y^2)=\dfrac{d}{dx}(6)\\\\\\ \dfrac{d}{dx}(x^3)+\dfrac{d}{dx}(x^2 y)+\dfrac{d}{dx}(y^2)=0\\\\\\ 3x^2+\left(2x\cdot y+x^2\cdot \dfrac{dy}{dx} \right )+2y\,\dfrac{dy}{dx}=0\\\\\\ 3x^2+2xy+x^2\,\dfrac{dy}{dx}+2y\,\dfrac{dy}{dx}=0\\\\\\ 3x^2+2xy+(x^2+2y)\,\dfrac{dy}{dx}=0\\\\\\ (x^2+2y)\,\dfrac{dy}{dx}=-3x^2-2xy\\\\\\ \therefore~~\boxed{\begin{array}{c}\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{-3x^2-2xy}{x^2+2y} \end{array}}$


Resposta: alternativa $\text{c) }y'=\dfrac{-3x^2-2xy}{x^2+2y}.$


Bons estudos! :-)

Answer 2

x³ + x²y + y² = 6
3x² +2xy+x²y + 2yy' = 0
y'=$\frac{-3 x^{2}-2xy }{ x^{2} +2y}$

C