Question

URGENTE

Resolva a equação em c

A- X^3-8

Answer 1

Resolver a equação

$x^3-8=0$

com $x$ pertencente ao conjunto dos números complexos.

______________

$x^3-8=0\\\\ x^3=8$

As soluções da equação são todas as raízes cúbicas de 8.

______________

Reescrevendo o 8 na forma polar (ou trigonométrica), temos que

$8=8\cdot (\cos 0+i\,\mathrm{sen\,}0)$


Usando a fórmula de De Moivre para o cálculo das raízes cúbicas:

$x_k=\,^{3}\!\!\!\sqrt{8}\cdot \left[\cos \left(\dfrac{0+k\cdot 2\pi}{3} \right )+i\,\mathrm{sen}\left(\dfrac{0+k\cdot 2\pi}{3} \right )\right ]\\\\\\ x_k=2\cdot \left[\cos \left(\dfrac{k\cdot 2\pi}{3} \right )+i\,\mathrm{sen}\left(\dfrac{k\cdot 2\pi}{3} \right )\right ]~~~~~\text{com }k=0,\,1,\,2$


Então temos as raízes cúbicas de 8:

$\bullet\;\;x_0=2\cdot (\cos 0+i\,\mathrm{sen\,}0)\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}x_0=2 \end{array}}\\\\\\\\ \bullet\;\;x_1=2\cdot \left(\cos\dfrac{2\pi}{3}+i\,\mathrm{sen\,}\dfrac{2\pi}{3}\right)\\\\\\ x_1=2 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}+i\,\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right )\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}x_1=-1+\sqrt{3}\,i \end{array}}\\\\\\\\ \bullet\;\;x_2=2\cdot \left(\cos\dfrac{4\pi}{3}+i\,\mathrm{sen\,}\dfrac{4\pi}{3}\right)\\\\\\ x_2=2 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}-i\,\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right )\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}x_2=-1-\sqrt{3}\,i \end{array}}$


O conjunto solução é

$S=\big\{2,\,-1+\sqrt{3}\,i,\,-1-\sqrt{3}\,i\big\}$


Bons estudos! :-)

Answer 2

Trata-se de uma equação de grau 3.
 Tem 3 raízes
x^3 - 8 = 0   (diferença de cubos)

Fatorando
                  (x - 2)(x^2 + 2x + 4) = 0
                     x - 2 = 0
                                       x1 = 2
                  x^2 + 2x + 4 = 0
                       x = (- b +/- √Δ)/2a
                                                        Δ = 4 - 4.1.4 = - 12
                                                         √- 12 = 2√-3
                      x = (- 2 +/- 2√-3)/2
                         = - 1 +/- √3i
                                                x2 = - 1 - √3i
                                                x3 = - 1 + √3i
 
                                                      S = {(-1-√3i), (-1+√3i), 2}