Question

O conjunto solução da inequação (x+2)^13 (2x-2)^21 < = 0

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Clara, que temos a seguinte inequação-produto:

(x+2)¹³ * (2x-2)²¹ ≤ 0

Note: temos duas funções que estão elevadas (ambas) a um expoente ímpar. Quando isso ocorre, você poderá considerar que os expoentes (como são ímpares) das duas funções estariam elevadas ao expoente "1" (que também é ímpar). Note que fazemos isso apenas para facilitar a resolução.
Então vamos considerar as duas funções como se estivessem escritas assim:

(x+2)¹*(2x-2)¹ ≤ 0 , ou apenas:
(x+2)*(2x-2) ≤ 0

Pronto. Então teremos o produto de duas funções cujo resultado terá que ser MENOR OU IGUAL a zero. Temos f(x) = x+2; e temos g(x) = 2x-2.
Agora vamos, a exemplo do que fizemos em uma outra questão sua, encontrar as raízes de cada uma das equações acima e depois estudar a sua variação de sinais, para encontrar, no final de tudo, o domínio da inequação originalmente dada [(x+2)¹³ * (2x-2)²¹ ≤ 0].
Assim, teremos:

f(x) = x+2 ----> raízes: x+2 = 0 ---> x = - 2
g(x) = 2x-2 ---> raízes: 2x-2 = 0 ---> 2x = 2 ---> x = 2/2 ---> x = 1.

Agora vamos estudar a variação de sinais de cada uma delas. Assim:

a) f(x) = x + 2 ... - - - - - - - - - - - (-2) + + + + + + + + + + + + + + + + ...
b) g(x) = 2x-2.... - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (1)+ + + + + + + + + +....
c) a*b . . . . . . . .+ + + + + + + + (-2)- - - - - - - - (1)+ + + + + + + + + + ...

Como queremos que o produto f(x)*g(x) seja MENOR ou IGUAL a zero, então só nos vai interessar onde tiver sinal de MENOS (ou zero) no item "c" acima, que nos fornece o resultado do produto de f(x) por g(x), cujo resultado terá que ser MENOR ou IGUAL a zero. Assim, o domínio da inequação original [(x+2)¹³ * (2x-2)²¹ ≤ 0] será:

-2 ≤ x ≤ 1 ------ Esta será a resposta.

Se você quiser, poderá apresentar o conjunto-solução (domínio) da seguinte forma, o que quer dizer a mesma coisa:

D = {x ∈ R | -2 ≤ x ≤ 1}

Ou ainda, também se quiser, poderá apresentar o domínio do seguinte modo, o que significa o mesmo:

D = [-2; 1] .

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.