Question

Considere o sistema linear homogêneo AX = 0; em que A = a b
                                                                                                             c d

Determine se
as seguintes afismações são verdadeiras ou falsas:
(i) Se a = b = c = d; então todo vetor X = (x1; x2) de R² é solução de AX = 0;

(ii) Se ad - bc = 0; então o sistema AX = 0 só possui a solução trivial x1 = x2 = 0;
(iii) Se A 6= 0 e ad - bc = 0; então o conjunto das soluções reais de AX = 0 é uma reta
que passa pela origem de R²:

Answer 1

Olá, Jr.

 

$<var>(i)\ \text{\underline{FALSA}}\\\\ A=\left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}a&a\\a&a\end{array}\right]=a\left[\begin{array}{cc}1&1\\1&1\end{array}\right]\cdot\left[\begin{array}{c}x_1&x_2\end{array}\right]=0 \Rightarrow\\\\ \begin{cases}x_1+x_2=0\\x_1+x_2=0\end{cases} \Rightarrow x_1+x_2=0</var>$

 

Ou seja, nem todo vetor  $<var>(x_1,x_2)</var>$  é solução de AX=0.

 

O vetor (1,1), por exemplo, não é solução, pois  $<var>x_1+x_2=1+1=2 \neq 0</var>$

 

 

$<var>(ii)\ \text{\underline{FALSA}}\\\\ ad-bc=\text{det}(A)=0</var>$

 

Como o determinante da matriz é nulo, então, ou o sistema possui infinitas soluções ou é impossível. A afirmação de que possui apenas uma solução, portanto, é falsa.

 

 

$<var>(iii)\ \text{\underline{VERDADEIRA}}\\\\\text{Se }ad-bc=0,\text{ h\'a 2 situa\c{c}\~oes poss\'iveis:}\\\\ A=\left[\begin{array}{cc}a&a\\d&d\end{array}\right]\text{ ou }A=\left[\begin{array}{cc}a&d\\a&d\end{array}\right] \\\\ \text{\underline{1.\ª situa\c{c}\~ao}:}\left[\begin{array}{cc}a&a\\d&d\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x_1\\x_2\end{array}\right]=0\Rightarrow \begin{cases}ax_1+ax_2=0\\dx_1+dx_2=0\end{cases} \Rightarrow \\\\ x_1+x_2=0 \Rightarrow x_1=-x_2\text{ (reta que passa pela origem)}</var>$

 

$<var>\text{\underline{2.\ª situa\c{c}\~ao}:}\left[\begin{array}{cc}a&d\\a&d\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x_1\\x_2\end{array}\right]=0\Rightarrow \begin{cases}ax_1+dx_2=0\\ax_1+dx_2=0\end{cases} \Rightarrow \\\\ ax_1+dx_2=0 \Rightarrow x_1=-\frac d a x_2\text{ (reta que passa pela origem)}</var>$

 

Em ambas as situações, o conjunto das soluções é uma reta que passa pela origem, diferenciando-se apenas pelo coeficiente angular.