Question

limite de x tendendo a 0 de x^x;
resolvendo por l.hopital

Answer 1

Seja "L" o valor  desse limite,  ou seja...

$L = \lim_{x \to 0} x^x$

Para que possamos aplicar regra de l'hopital, teremos que ter um tipo de indeterminação.

Sendo assim, aplicando Logaritmo na base "e" em ambom lados, ficaríamos com:

$Ln L = Ln [ \lim_{x \to 0} x^x]$

Usando propriedade de limite, onde:

$Ln[ \lim_{n \to k} F(x) ] = \lim_{n \to k}lnF(x)$

Então:

$lnL = \lim_{x \to 0} Ln x^x$

Aplicando a regra de logaritmo em x teremos:

$Ln L = \lim_{n \to 0} xLn x$

Agora reescrevendo : 

$xLnx = \frac{ln x}{ \frac{1}{x} }$

Teremos um tipo de indeterminação.


Logo,

$LnL = \lim_{x \to 0} \frac{Lnx}{ \frac{1}{x} }$

Usando o conceito de l.hopital teremos o seguinte...


$\\ ln L = \lim_{x \to 0} \frac{ \frac{d(lnx)}{dx} }{ \frac{d( \frac{'}{x}) }{dx} } \\ \\ lnL = \lim_{x \to 0} \frac{ \frac{1}{x} }{ -\frac{1}{x^2} } \\ \\ lnL = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} * \frac{-x^2}{1} \\ \\ lnL = \lim_{x \to 0} -x \\ \\ lnL = \lim_{x \to 0} -0 \\ \\ lnL = 0$

Usando propriedade de logaritmo:

$Log_{a}b = k\ \textless \ =\ \textgreater \ a^k=b$

Então,

$\\ e^0 = L \\ \\ L = 1$