Question

SUPER URGENTE!!
Um colar é formado por pérolas grandes e pequenas, tenho menos de 500 pérolas no colar
(A) Se substituirmos 60% das pérolas grandes por pequenas. O peso do colar reduz 70%
(B) Se substituirmos 70% das pérolas pequenas por grandes. O peso do colar aumenta 60%

Quantas pérolas possui o Colar??

Answer 1

Seja x, inteiro positvo, o número de pérolas grandes 
e y, inteiro positivo, o número de pérolas pequenas. 

Então, representando por n, o número total de pérolas, 
tem-se que 
x + y = n, onde n é um inteiro positivo < 500. 
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Seja P o peso de cada pé**** grande 
e p, o peso de cada pé**** pequena. 
Então, o peso do colar é igual a x P + y p. 
--------------------------------------... 

de I, temos: 
substituindo 70% das pérolas grandes por pequenas, 
isto é, apenas 0,3 x pérolas grandes 
e 0,7 x novas pérolas pequenas, além das y que já tinha, 
o peso será: 
0,3 x P + 0,7 x p + y p 

e no enunciado diz que o peso terá diminuído de 60%, 
isto é será igual a 0,4 do peso original, ou seja, 
0,4 (x P + y p). 

Então, da situação I, temos: 
0,3 x P + 0,7 x p + y p = 0,4 (x P +y p) 
donde podemos escrever (efetuando o produto
do lado direito e reunindo termos semelhantes): 
0,7 x p + 0,6 y p = 0,1 x P 

E, como y = n - x, temos 
(substituindo y na eq. acima, e efetuando o produto): 
0,7 x p + 0,6 n p - 0,6 x p = 0,1 x P 
ou ainda, 
0,1 x p - 0,1 x P = -0,6 n p 

Multiplicando todos os termos por (-10): 
x P - x p = 6 n p 
(esta é a eq. 1) 

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de II, temos: 
substituindo 60% das pérolas pequenas por grandes, 
isto é, apenas 0,4 y pérolas pequenas 
e 0,6 y novas pérolas grandes, além das x que já tinha, 
o peso será: 
x P + 0,6 y P + 0,4 y p 

e no enunciado diz que o peso terá aumentado de 70%, 
isto é será igual a 1,7 do peso original, ou seja, 
1,7 (x P + y p). 

Então, da situação II, temos: 
x P + 0,6 y P + 0,4 y p = 1,7 (x P +y p) 
donde podemos escrever (efetuando o produto
do lado direito e reunindo termos semelhantes): 
0,6 y P = 0,7 x P + 1,3 y p 

E, como y = n - x, temos 
(substituindo y na eq. acima, e efetuando o produto): 
0,6 n P - 0,6 x P = 0,7 x P + 1,3 n p - 1,3 x p 
ou ainda, 
-1,3 (x P - x p) = 1,3 n p - 0,6 n P 

Dividindo todos os termos por (-1,3): 
x P - x p = (0,6/1,3) n P - n p 
(esta é a eq. 2) 

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Fazendo, agora, eq. 1 menos eq. 2, obtemos: 
0 = 7 n p - (0,6/1,3) n P 

isto é: 
n . [ 7 p - (0,6/1,3) P] = 0 

e, como n é diferente de zero, conclui-se que 
7 p - (0,6/1,3) P = 0, 
ou seja, 
7 p = (0,6/1,3) P, 
ou ainda: 
P = (1,3 . 7 / 0,6) p, 

que, substituído na eq. 1, fornece: 
x (1,3 . 7 / 0,6) p - x p = 6 n p 

Podemos dividir tudo por p, pois p é diferente de zero, 
donde resulta: 
x = (36/ 85) n 

e como y = n - x, concluímos que 
y = n - (36/85) n, isto é 
y = (49/85) n 

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temos, então as seguintes cinco possibilidades: 
(n deverá ser múltiplo de 85, não podendo ser maior que 500) 

a) número total de pérolas n = 85, que corresponde a 
x = 36 pérolas grandes e y = 49 pérolas pequenas 

b) número total de pérolas n = 170, que corresponde a 
x = 72 pérolas grandes e y = 98 pérolas pequenas 

c) número total de pérolas n = 255, que corresponde a 
x = 108 pérolas grandes e y = 147 pérolas pequenas 

d) número total de pérolas n = 340, que corresponde a 
x = 144 pérolas grandes e y = 196 pérolas pequenas 

e) número total de pérolas n = 425, que corresponde a 
x = 180 pérolas grandes e 245 pérolas pequenas 

O próximo múltiplo de 85 é 510, que é maior que 500, e 
portanto, não serve. 
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Destas cinco possibilidades, ainda temos que verificar que 
70% de x, isto é, 0,7 x seja um número inteiro (da situação I) 
e 60% de y, isto é, 0,6 y seja um número inteiro (da situação II). 

A única que satisfaz a estas restrições é a última, 
isto é: 

número total de pérolas n = 425, que corresponde a 
x = 180 pérolas grandes e 245 pérolas pequenas

Espero ter te Ajudado!